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前言

前面博主介绍了信号中的连续时间信号和离散时间信号，数字信号也是离散时间信号的一种，而且讲诉了怎么获取数字信号也就是采样、量化的过程，而本篇博客是为了进一步介绍离散时间信号的特点，以及离散时间系统的意义，特别是线性时不变系统，了解这些之后，才能够对于信号做进一步的处理，例如：滤波、频谱分析、信号增强等等。

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一、离散时间信号

1.基本信号

离散时间信号的基本信号是指在信号处理和系统分析中经常使用的标准信号，它们可以作为其他信号的基底或构建块。以下是其中几种信号的形式：

• 单位脉冲/单位样本

数学公式为 $$\delta n=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ 0,n\ne 0\end{array}$$
意思是在零时刻突然产生一个幅值为1的脉冲，之后持续时间为0的序列

• 单位越阶
  数学公式为$$u(n)=\{\begin{array}{l}1,n\ge 0\\ 0,n<0\end{array}$$
  意思某一时刻产生了脉冲，后面一直保持，如下图
  

• 单位斜坡
  数学公式为
  $$u_r(n)=\{\begin{array}{l}n,n\ge 0\\ 0,n<0\end{array}$$
  意思为从某一时刻起，脉冲逐渐增大，看起来如下图
  

• 正弦信号
  数学公式为$$x[n]=A\sin ({\omega }_{0}n+\varphi )$$
  信号是随周期性变化，如下图
  

• 指数信号
  数学公式为
  $$x(n)=a^n$$
  当a的取值不同时，信号有以下表现，当a是实数时
  
  当a是复数时，$a=r{e}^{j\theta }$，所以公式等式为$x(n)=r^n(\cos \theta n+j\sin \theta n)$，那么它的实部和虚部分别为$x_R(n)=r^n\cos \theta n$和$x_1(n)=r^n\sin \theta n$,看起来如下，图a是实部，图b是虚部
  

2.离散时间信号的分类

之前我们说过信号可以分类为连续时间信号、离散时间信号或者模拟信号、数字信号等等，都是根据不同特征进行分类的。而离散时间信号根据特征可以分为：

• 能量信号/功率信号
  根据信号的能量进行分类，有限能量叫做能量信号，能量E取值有限，$x(n)$是能量信号
  $$E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n){|}^2$$
  若是E取值无限，那么是以有限平均功率进行计算，$x(n)$是功率信号
  $$P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{\infty }|x(n){|}^2$$
• 周期信号和非周期信号
  对于$x(n+N)=x(n)$即为周期信号

3.离散时间信号的简单运算

• 自变量转换
  简单的说就是信号的平移，即$y=x(n-k)$，k>0时，信号在时间上处于延迟，k<0时，信号在时间上处于超前
• 序列上的运算
  简单的说就是两种不同频率的信号通过加、乘、缩放得到的第三种信号，例如$y(n)=x_1(n)+x_2(n)$

4.单位脉冲在运算中的作用

按照上文所说的单位脉冲表达式为
$$\delta n=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ 0,n\ne 0\end{array}$$

我们可以导出任意离散时间序列可以通过单位冲激序列（Unit Impulse Sequence）的加权和来表示。这种表示方法称为冲激分解，它利用了单位冲激信号 $\delta [n]$ 的特性。

假设我们有一个任意的离散时间序列 $x(n)$，它可以通过单位冲激信号的加权和来表示。形式上可以写为：
$$x(n)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x(k)\ast \delta (n-k)$$
即：

• 当$n=k$时，$\delta [n-k]=1$，这时加权和为$x[k]$
• 当$n\ne k$时，$\delta [n-k]=0$，这时对于总和没有贡献

其中$x(k)$为该序列在k时间点上的值，例如现在有离散时间信号序列为：
$$x(n)=\{\begin{array}{l}2,n=0\\ 3,n=1,n=-1\\ 0,n=2,n=-2\\ 1,n=3\end{array}$$
如何把它转成可以在数学中使用的公式呢？它即等效为：
$$x[n]=2\times \delta [n]+3\times \delta [n]+0\times \delta [n]+1\times \delta [n]$$
这对于下文中计算信号序列的卷积和有重大意义。

二、离散时间系统

1.什么是离散时间系统

简单点说，离散时间系统就是对于离散信号执行某些规定的运算，执行者为某些算法或者元器件。

一般表示为：
$$x(n){\to }^{\tau }y(n)$$
其中 $x(n)$是输入信号， $\tau$是系统，$y(n)$是系统对于输入信号的响应。
例如：

• $y(n)=x(n)$ 叫做恒等系统
• $y(n)=x(n-1)$叫做单位延迟系统
• $y(n)=x(n+1)$叫做单位超前系统
• $y(n)=\frac{1}{3}[x(n+1)+x(n)+x(n-1)]$叫做滑动平均滤波器
• $y(n)={\sum }_{k=-\infty }^{n}x(k)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+...$累加器系统

2.离散系统的分类

• 静态系统/动态系统
  如果一个离散时间系统在任意时刻$n$的输出$y(n)$只依赖输入信号$x(n)$，就叫做静态系统或者是无记忆系统，反之，叫做动态系统或者有记忆系统。
• 时不变系统/时变系统
  如果一个离散时间系统的输入-输出特性不随着时间发生改变叫做时不变系统，反之叫做时变系统。也就是说如果
  $$y(n)=\tau [x(n)]\Rightarrow y(n-k)=\tau [x(n-k)]$$
  就是时不变系统，例如以下a,b,c,d中，a、c是时不变系统，b、d是时变系统：
  
• 线性系统/非线性系统
  满足叠加性的系统就是线性系统，反之就是非线性系统。叠加性是指系统对输入信号的加权和的响应等于对每个输入信号的响应的加权和。叠加性包括两个方面：齐次性和可加性。
  齐次性：如果系统的输入乘以一个常数，则系统的输出也会乘以相同的常数：
  $$x[n]{\to }^{\tau }y[n]\Rightarrow a\times x[n]{\to }^{\tau }a\times y[n]$$
  可加性：如果两个输入信号$x_1[n]$和$x_2[n]$分别输出了$y_1[n]$和$y_2[n]$，那么$x_1[n]+x_2[n]$会输出$y_1[n]+y_2[n]$，即：
  $$x_1[n]{\to }^{\tau }{y}_1[n]x_2[n]{\to }^{\tau }{y}_2[n]$$则
  $$x_1[n]+x_2[n]{\to }^{\tau }{y}_1[n]+y_2[n]$$
  如图解析了两个方面
  
  线性条件如上面所示，通过归纳，可以扩展到任意加权组合，可以得到：
  $$x(n)=\sum _{k=1}^{M-1}{a}_k{x}_k(n){\to }^{\tau }=y(n)=\sum _{k=1}^{M-1}{a}_k{y}_k(n)$$
  其中
  $$y_k(n)=\tau [x_k(n)]$$

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总结

这篇文章借鉴《数字信号处理》、《信号与系统》，里面有大量的数学知识，可能看起来比较费劲，博主也是一边整理一边在两本书和别人的博客中对比吸收不了解的东西。下一篇博主会继续介绍线性时不变系统与数字滤波器之间推导的数学方式。

如果有一些地方读者觉得不对或者不清楚的，欢迎在评论区留言一起探讨。

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