题目

给定一个非空的字符串，判断它是否可以由它的一个子串重复多次构成。给定的字符串只含有小写英文字母，并且长度不超过10000。

示例 1:

输入: "abab"
输出: True
解释: 可由子字符串 "ab" 重复两次构成。

示例 2:

输入: "aba"
输出: False

示例 3:

输入: "abcabcabcabc"
输出: True
解释: 可由子字符串 "abc" 重复四次构成。 (或者子字符串 "abcabc" 重复两次构成。)

思路

暴力的解法， 就是一个for循环获取 子串的终止位置， 然后判断子串是否能重复构成字符串，又嵌套一个for循环，所以是O(n^2)的时间复杂度。

有的同学可以想，怎么一个for循环就可以获取子串吗？ 至少得一个for获取子串起始位置，一个for获取子串结束位置吧。

其实我们只需要判断，以第一个字母为开始的子串就可以，所以一个for循环获取子串的终止位置就行了。 而且遍历的时候 都不用遍历结束，只需要遍历到中间位置，因为子串结束位置大于中间位置的话，一定不能重复组成字符串。

主要讲一讲移动匹配 和 KMP两种方法。

移动匹配

当一个字符串s：abcabc，内部由重复的子串组成，那么这个字符串的结构一定是这样的
也就是由前后相同的子串组成。

那么既然前面有相同的子串，后面有相同的子串，用 s + s，这样组成的字符串中，后面的子串做前串，前面的子串做后串，就一定还能组成一个s，如图：
当然，我们在判断 s + s 拼接的字符串里是否出现一个s的的时候，要刨除 s + s 的首字符和尾字符，这样避免在s+s中搜索出原来的s，我们要搜索的是中间拼接出来的s。

以上证明的充分性，接下来证明必要性：

如果有一个字符串s，在 s + s 拼接后， 不算首尾字符，如果能凑成s字符串，说明s 一定是重复子串组成。

如图，字符串s，图中数字为数组下标，在 s + s 拼接后， 不算首尾字符，中间凑成s字符串。
图中，因为中间拼接成了s，根据红色框 可以知道 s[4] = s[0]， s[5] = s[1]， s[0] = s[2], s[1] = s[3] s[2] = s[4] ,s[3] = s[5]
以上相等关系我们串联一下：

s[4] = s[0] = s[2]

s[5] = s[1] = s[3]

即：s[4],s[5] = s[0],s[1] = s[2],s[3]

说明这个字符串，是由 两个字符 s[0] 和 s[1] 重复组成的！

如图：

s[3] = s[0]，s[4] = s[1] ，s[5] = s[2]，s[0] = s[3]，s[1] = s[4]，s[2] = s[5]

以上相等关系串联：

s[3] = s[0]

s[1] = s[4]

s[2] = s[5]

s[0] s[1] s[2] = s[3] s[4] s[5]

和以上推导过程一样，最后可以推导出，这个字符串是由 s[0] ，s[1] ，s[2] 重复组成。

如果是这样的呢，如图：
s[1] = s[0]，s[2] = s[1] ，s[3] = s[2]，s[4] = s[3]，s[5] = s[4]，s[0] = s[5]

以上相等关系串联

s[0] = s[1] = s[2] = s[3] = s[4] = s[5]

最后可以推导出，这个字符串是由 s[0] 重复组成。

以上 充分和必要性都证明了，所以判断字符串s是否由重复子串组成，只要两个s拼接在一起，里面还出现一个s的话，就说明是由重复子串组成。

代码如下：
class Solution {
public:
bool repeatedSubstringPattern(string s) {
string t = s + s;
t.erase(t.begin()); t.erase(t.end() - 1); // 掐头去尾
if (t.find(s) != std::string::npos) return true; // r
return false;
}
};

时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(1)

不过这种解法还有一个问题，就是 我们最终还是要判断 一个字符串（s + s）是否出现过 s 的过程，大家可能直接用contains，find 之类的库函数， 却忽略了实现这些函数的时间复杂度（暴力解法是m * n，一般库函数实现为 O(m + n)）。

充分性证明

如果一个字符串s是由重复子串组成，那么 最长相等前后缀不包含的子串一定是字符串s的最小重复子串。

证明： 如果s 是有是有最小重复子串p组成。

即 s = n * p

那么相同前后缀可以是这样：
也可以是这样：
最长的相等前后缀，也就是这样：
如果字符串s 是有是有最小重复子串p组成，最长相等前后缀就不能更长一些？ 例如这样：
如果这样的话，因为前后缀要相同，所以 p2 = p1，p3 = p2，如图：
p2 = p1，p3 = p2 即： p1 = p2 = p3

说明 p = p1 * 3。

这样p 就不是最小重复子串了，不符合我们定义的条件。

所以，如果这个字符串s是由重复子串组成，那么最长相等前后缀不包含的子串是字符串s的最小重复子串。

必要性证明

以上是充分性证明，以下是必要性证明：

如果 最长相等前后缀不包含的子串是字符串s的最小重复子串， 那么字符串s一定由重复子串组成吗？

最长相等前后缀不包含的子串已经是字符串s的最小重复子串，那么字符串s一定由重复子串组成，这个不需要证明了。

关键是要要证明：最长相等前后缀不包含的子串什么时候才是字符串s的最小重复子串呢。

情况一， 最长相等前后缀不包含的子串的长度 比 字符串s的一半的长度还大，那一定不是字符串s的重复子串

情况二，最长相等前后缀不包含的子串的长度 可以被 字符串s的长度整除，如图：

步骤一：因为 这是相等的前缀和后缀，t[0] 与 k[0]相同， t[1] 与 k[1]相同，所以 s[0] 一定和 s[2]相同，s[1] 一定和 s[3]相同，即：，s[0]s[1]与s[2]s[3]相同 。

步骤二： 因为在同一个字符串位置，所以 t[2] 与 k[0]相同，t[3] 与 k[1]相同。

步骤三： 因为 这是相等的前缀和后缀，t[2] 与 k[2]相同 ，t[3]与k[3] 相同，所以，s[2]一定和s[4]相同，s[3]一定和s[5]相同，即：s[2]s[3] 与 s[4]s[5]相同。

步骤四：循环往复。

所以字符串s，s[0]s[1]与s[2]s[3]相同， s[2]s[3] 与 s[4]s[5]相同，s[4]s[5] 与 s[6]s[7] 相同。

可以推出，在由重复子串组成的字符串中，最长相等前后缀不包含的子串就是最小重复子串。

即 s[0]s[1] 是最小重复子串

以上推导中，你怎么知道 s[0] 和 s[1] 就不相同呢？ s[0] 为什么就不能使最小重复子串。

如果 s[0] 和 s[1] 也相同，同时 s[0]s[1]与s[2]s[3]相同，s[2]s[3] 与 s[4]s[5]相同，s[4]s[5] 与 s[6]s[7] 相同，那么这个字符串就是有一个字符构成的字符串。

那么它的最长相同前后缀，就不是上图中的前后缀，而是这样的的前后缀：
情况三，最长相等前后缀不包含的子串的长度 不被 字符串s的长度整除得情况，如图：

步骤一：因为 这是相等的前缀和后缀，t[0] 与 k[0]相同， t[1] 与 k[1]相同，t[2] 与 k[2]相同。

所以 s[0] 与 s[3]相同，s[1] 与 s[4]相同，s[2] 与s[5]，即：，s[0]s[1]与s[2]s[3]相同 。

步骤二： 因为在同一个字符串位置，所以 t[3] 与 k[0]相同，t[4] 与 k[1]相同。

步骤三： 因为 这是相等的前缀和后缀，t[3] 与 k[3]相同 ，t[4]与k[5] 相同，所以，s[3]一定和s[6]相同，s[4]一定和s[7]相同，即：s[3]s[4] 与 s[6]s[7]相同。

以上推导，可以得出 s[0],s[1],s[2] 与 s[3],s[4],s[5] 相同，s[3]s[4] 与 s[6]s[7]相同。

那么 最长相等前后缀不包含的子串的长度 不被 字符串s的长度整除 ，就不是s的重复子串

充分条件：如果字符串s是由重复子串组成，那么 最长相等前后缀不包含的子串 一定是 s的最小重复子串。

必要条件：如果字符串s的最长相等前后缀不包含的子串 是 s最小重复子串，那么 s是由重复子串组成。

在必要条件，这个是 显而易见的，都已经假设 最长相等前后缀不包含的子串 是 s的最小重复子串了，那s必然是重复子串。

关键是需要证明， 字符串s的最长相等前后缀不包含的子串 什么时候才是 s最小重复子串。

同上我们证明了，当 最长相等前后缀不包含的子串的长度 可以被 字符串s的长度整除，那么不包含的子串 就是s的最小重复子串。

class Solution {
public boolean repeatedSubstringPattern(String s) {
if (s.equals(“”)) return false;

    int len = s.length();
    // 原串加个空格(哨兵)，使下标从1开始，这样j从0开始，也不用初始化了
    s = " " + s;
    char[] chars = s.toCharArray();
    int[] next = new int[len + 1];

    // 构造 next 数组过程，j从0开始(空格)，i从2开始
    for (int i = 2, j = 0; i <= len; i++) {
        // 匹配不成功，j回到前一位置 next 数组所对应的值
        while (j > 0 && chars[i] != chars[j + 1]) j = next[j];
        // 匹配成功，j往后移
        if (chars[i] == chars[j + 1]) j++;
        // 更新 next 数组的值
        next[i] = j;
    }

    // 最后判断是否是重复的子字符串，这里 next[len] 即代表next数组末尾的值
    if (next[len] > 0 && len % (len - next[len]) == 0) {
        return true;
    }
    return false;
}

}