最小生成树
在一个无向图中求一棵树(n-1条边，无环，连通所有点)而且这棵树的边的权和最小
prim(普利姆)算法
prim算法有叫加点法，我们先标定一个点，然后寻找与这个点相连的边的权值最小的点，不断重复此操作，直到所有的点都被连通，我们看下图
我们以洛谷P3366这道题为例来具体写一下代码
代码如下：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstring> // 用于memset
using namespace std;
const int N = 5010; // 最大的点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大，表示两个点之间没有直接边
int n; // n 表示点数
int mp[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边的权重
int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的最短距离
bool st[N]; // 用于标记每个点是否已经在生成树中
// 初始化函数，将邻接矩阵和其他辅助数组进行初始化
void init() {
// 将邻接矩阵所有值设为无穷大INF，表示初始时没有任何边
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
mp[i][j] = INF;
}
}
// 其他辅助数组清空
memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 将 dist 初始化为INF
memset(st, 0, sizeof st); // 将 st 数组全置为 false（初始时没有点在最小生成树中）
}
// Prim算法，计算最小生成树的权重总和
// 如果图不连通，返回 "orz"
int prim() {
dist[1] = 0; // 从第 1 个点开始，初始时距离设为0
int res = 0; // 存储最小生成树的总权重
// 遍历 n 次，每次找一个点加入生成树
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = -1; // t 用来存储当前距离生成树最近的点
// 在所有未加入生成树的点中，找到距离最近的点 t
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) {
t = j;
}
}
// 如果除了第一个点以外，某个点的距离为INF，说明图不连通
if (i && dist[t] == INF) {
cout << "orz" << endl;
return 0;
}
// 如果该点不是第一个点，将其距离加入总权重
if (i) {
res += dist[t];
}
st[t] = true; // 将点 t 标记为已加入生成树
// 更新所有其他点到生成树的最短距离
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dist[j] = min(dist[j], mp[t][j]);
}
}
// 返回最小生成树的总权重
return res;
}
int main() {
int m; // m 表示边数
cin >> n >> m; // 读入点数和边数
init(); // 初始化邻接矩阵和其他辅助数组
// 读入所有的边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w; // u, v 表示边的两个端点，w 表示权重
cin >> u >> v >> w;
// 如果这条边比之前存的边权小，则更新邻接矩阵
if (mp[u][v] > w) {
mp[u][v] = mp[v][u] = w;
}
}
// 调用 Prim 算法，计算最小生成树的总权重
int ans = prim();
// 如果图连通，输出最小生成树的权重
if (ans) {
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
kruskal(克鲁斯卡尔)算法
kruskal算法，又叫加边法，我们把所有点都列出来，然后一次把权值最短的边加上去，要注意加边之后不能形成环，我们看下图
还是同样的问题我们使用kruskal算法，我们主要是通过并查集来确保不会生成环
代码如下：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm> // 用于 std::sort
using namespace std;
const int N = 5010; // 最大点数
const int M = 2e5 + 10; // 最大边数
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n 是点数，m 是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组
// 边结构体，存储一条边的信息（起点、终点、权重）
struct Edge {
int a, b, w;
// 运算符重载，用于边的排序，按边权升序排列
bool operator< (const Edge& W) const {
return w < W.w;
}
} edges[M];
// 并查集查找操作，带路径压缩
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); // 路径压缩
return p[x];
}
// Kruskal 算法求解最小生成树
int kruskal() {
// 首先对所有边按照权重排序
sort(edges, edges + m);
// 初始化并查集，每个点自成一个连通块
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0; // res 保存最小生成树的权重总和，cnt 记录加入生成树的边数
// 遍历所有边，按权重从小到大
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
// 查找两个端点所在的连通块
a = find(a), b = find(b);
// 如果两个连通块不同，则将它们合并
if (a != b) {
p[a] = b; // 合并连通块
res += w; // 增加最小生成树的总权重
cnt++; // 增加计数，表示加入生成树的边数
// 如果已经加入了 n - 1 条边，则生成树已经构建完成
if (cnt == n - 1) break;
}
}
// 如果连通块的数量小于 n - 1，说明图不连通
if (cnt < n - 1) return INF;
return res; // 返回最小生成树的权重总和
}
int main() {
cin >> n >> m; // 输入点数和边数
// 读入所有边
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
edges[i] = { u, v, w }; // 初始化每一条边
}
// 调用 Kruskal 算法计算最小生成树
int ans = kruskal();
// 如果图不连通，输出 "orz"，否则输出最小生成树的总权重
if (ans == INF) cout << "orz" << endl;
else cout << ans << endl;
return 0;
}
