软考系统分析师知识点三：应用数学

前言

今年报考了11月份的软考高级：系统分析师。

考试时间为：11月9日。

倒计时：34天。

目标：优先应试，其次学习，再次实践。

复习计划第一阶段：扫平基础知识点，仅抽取有用信息，可有缺失，但得过眼。

第二章下：应用数学

这部分内容比较繁杂，仅对其概念和公式做一些总结，不对具体解法和过程做过多深入。

2.7 - 2.12

内容总结

2.7 概率论与数理统计

古典概率：事件发生的概率是该事件发生的次数与总试验次数的比值，公式为 $\frac{m}{n}$
概率的基本性质：
- 空集的概率为0： $P(\emptyset) = 0$
- 样本空间的概率为1： $P(\Omega) = 1$
- 任何事件的概率介于0和1之间： $\leq P(A) \leq 1$
- 事件的补概率是1减去该事件的概率： $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- 事件A不包含B的概率等于A的概率减去A与B交集的概率： $\cap B)$
- 如果B是A的子集，则A减去B的概率等于A的概率减去B的概率： $P (A - B) = P (A) - P (B)$
条件概率与独立性：
- 条件概率是在事件A发生的条件下事件B发生的概率： $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- 两个事件独立意味着它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积： $\cap B) = P(A)P(B)$
全概率公式：用于计算事件A发生的概率，通过将样本空间划分为几个互斥事件并利用条件概率计算： $\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)$
贝叶斯公式：用于在已知某些条件下事件发生概率的情况下，反过来计算事件发生后某些条件成立的概率： $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$
伯努利二项概率公式：描述了在固定次数的独立实验中，成功k次的概率： $P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
随机变量及其分布：
- 离散型随机变量：每个可能的取值对应一个概率： $p_k = P(\xi = x_k)$
- 连续型随机变量：概率分布由密度函数描述，分布函数给出了随机变量小于等于某值的概率：概率密度函数 p(x) ，分布函数 $P(\xi \leq x)$
数字特征：
- 数学期望：随机变量的平均值或中心点： $E\xi = \sum_k x_k p_k$ （离散型）或 $\int x p(x) dx$ （连续型）。
- 方差：衡量随机变量取值分散程度的度量： $D\xi = E(\xi^2) - (E\xi)^2$
常用分布：
- 0-1分布：只有两种可能结果的随机试验，成功的概率为 $p ：p_k = (1-p, p)$
- 二项分布：重复n次的伯努利试验中成功k次的概率： $p_k = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
- 泊松分布：描述稀有事件在固定时间或空间内发生次数的概率分布： $P(\xi = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
- 均匀分布：随机变量在某个区间内任意取值是等可能的： $\frac{1}{b-a} (对 a \leq x \leq b )$
- 标准正态分布：均值为0，方差为1的正态分布： $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

2.8 图论应用

最小生成树：
- 普里姆算法：从一个顶点开始，逐步添加边以覆盖所有顶点，形成最小权重和的树。
- 克鲁斯卡尔算法：按边权重递增顺序选择边，构建最小生成树。
最短路径：
- 迪杰斯特拉算法：计算有向带权图中单个源点到其他所有顶点的最短路径，使用松弛操作更新最短路径估计。
- 弗洛伊德算法：计算图中每一对顶点间的最短路径，使用动态规划。
网络最大流量：
- 寻找从源点到汇点的最大流量，考虑容量限制和流量守恒，通常使用 Ford-Fulkerson 算法或 Edmonds-Karp 算法。

2.9 组合分析

排列组合：研究对象是排列和组合问题，以计数基本原理为前提。
计数原理：包括乘法原理和加法原理。
排列：从n个不同元素中选取r个元素考虑顺序的排列方式，记为 $P_n^r$
组合：从n个不同元素中选取r个元素不考虑顺序的组合方式，记为 $C_n^r$

2.10 算法的选择与应用

算法定义：为解决问题而设计的步骤和方法。
算法效率：衡量标准包括正确性、可靠性、易理解性及时间和空间复杂度。
非数值算法：用于查找、排序等操作。
数值算法：用于求解数学问题，如方程根、定积分、微分方程等。

2.10.1 非数值算法

查找算法：包括顺序查找、折半查找、分块查找、哈希查找。
排序算法：包括插入排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、希尔排序、堆排序、归并排序、外排序。

2.10.2 数值算法

误差分析：包括模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差、过失误差、绝对误差、相对误差。

2.11 运筹方法

2.11.1 网络计划技术

CPM: 找关键路径，优化项目工期。
PERT: 评估风险，计算期望工期。

2.11.2 线性规划

目标: 最大化或最小化目标函数。
方法: 图解法、单纯形法。

2.11.3 决策论

类型: 战略、策略、执行。
准则: 悲观、乐观、折中、后悔值。

2.11.4 对策论

要素: 局中人、策略集、赢得函数。
分类: 二人、多人、零和、非零和。

2.11.5 排队论

组成: 输入过程、排队规则、服务机构。
模型: M/M/1、D/M/c。

2.11.6 存贮论

目的: 研究原料、产品、供销存贮。
策略: (T, Q)、(s, S)、(T, s, S)。

2.12 数学建模

定义：用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的过程。
建模过程：
1. 模型准备：了解问题背景，明确实际意义。
2. 模型假设：根据特征和目的进行合理简化。
3. 模型建立：利用数学工具刻画变量间的数学关系。
4. 模型求解：使用数据对模型参数进行估计。
5. 模型分析：对模型结果进行数学分析。
6. 模型检验：比较模型结果与实际情况，验证模型准确性。
7. 模型应用：根据问题性质和目的进行实际应用。
建模方法：
- 直接分析法：基于问题机理直接构造模型。
- 类比法：模仿已知模型构建新模型。
- 数据分析法：通过大量数据进行统计分析建模。
- 构想法：对可能发生情况给出合理设想，构建并修正模型。
数学模型组成：
- 目标函数：评价准则，可能包括多目标。
- 约束条件：包括等式和不等式，表示问题的局限性。
- 随机因素：表示模型中的不确定性。