置信区间（Confidence Interval, CI） 是统计学中用于估计总体参数的范围。它给出了一个区间，并且这个区间包含总体参数的概率等于某个指定的置信水平（通常是 90%、95% 或 99%）。与点估计不同，置信区间通过区间估计给出了参数的可能范围，从而提供了更可靠的信息。
1. 定义
置信区间是用于估计总体参数（如均值、比例等）的一个区间。与点估计（即单个估计值）不同，置信区间提供了一系列可能包含总体参数的值，并伴随着一定的置信水平。
置信区间可以看作是一个范围，表示我们对这个范围包含真实参数值的信心程度。例如，给定 95% 的置信水平，置信区间表示我们有 95% 的信心认为该区间包含总体参数。
2. 置信水平
置信水平（Confidence Level） 表示区间包含总体参数的概率。通常使用的置信水平有 90%、95%、99% 等。置信水平越高，置信区间越宽，表示我们更有把握认为总体参数落在该区间内。
3. 置信区间的计算
对于总体均值 μ \mu μ，当样本量较大且样本均值服从正态分布时，置信区间可以通过以下公式计算：
置信区间 = ( X ‾ − z α / 2 ⋅ σ n , X ‾ + z α / 2 ⋅ σ n ) \text{置信区间} = \left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) 置信区间=(X−zα/2⋅nσ,X+zα/2⋅nσ)
其中：
- X ‾ \overline{X} X 是样本均值。
- σ \sigma σ 是总体的标准差，若不知道 σ \sigma σ，可以用样本标准差 s s s 代替。
- n n n 是样本量。
-
z
α
/
2
z_{\alpha/2}
zα/2 是对应置信水平的标准正态分布的临界值。例如，对于 95% 置信水平，
z
α
/
2
=
1.96
z_{\alpha/2} = 1.96
zα/2=1.96。
- 临界值：在标准正态分布中，临界值是位于分布尾部的那个点，使得在该点外的面积（即尾部面积）等于 ( 1 − 置信水平 ) / 2 (1 - \text{置信水平}) / 2 (1−置信水平)/2。例如，在 95% 的置信水平下，左右两侧各留出 2.5% 的尾部面积，因此 95% 的置信区间在 z z z 轴上对应的临界值是 1.96。1.96 是标准正态分布 x x x 轴上的一个点，它表示距离均值 1.96 个标准差的位置。
图示如下：
图片来源：https://analystprep.com/cfa-level-1-exam/quantitative-methods/confidence-intervals-2/
4. 置信区间的例子
假设我们从某个城市中抽取了 100 人的样本，测量他们的年收入，计算出样本均值为 X ‾ = 50 , 000 \overline{X} = 50,000 X=50,000 美元，样本标准差为 s = 10 , 000 s = 10,000 s=10,000 美元。我们希望以 95% 的置信水平来估计该城市居民的平均年收入。
根据 95% 置信水平，对应的 z α / 2 = 1.96 z_{\alpha/2} = 1.96 zα/2=1.96，样本量 n = 100 n = 100 n=100，置信区间为：
置信区间 = ( 50 , 000 − 1.96 ⋅ 10 , 000 100 , 50 , 000 + 1.96 ⋅ 10 , 000 100 ) \text{置信区间} = \left( 50,000 - 1.96 \cdot \frac{10,000}{\sqrt{100}}, 50,000 + 1.96 \cdot \frac{10,000}{\sqrt{100}} \right) 置信区间=(50,000−1.96⋅10010,000,50,000+1.96⋅10010,000)
= ( 50 , 000 − 1 , 960 , 50 , 000 + 1 , 960 ) = (50,000 - 1,960, 50,000 + 1,960) =(50,000−1,960,50,000+1,960)
= ( 48 , 040 , 51 , 960 ) = (48,040, 51,960) =(48,040,51,960)
因此，我们可以说我们有 95% 的信心认为该城市的平均年收入在 48 , 040 48,040 48,040 美元到 51 , 960 51,960 51,960 美元之间。
5. 不同类型的置信区间
a. 总体均值的置信区间
适用于推断总体均值时的置信区间，通常使用 z z z 检验（样本量较大）或 t t t 检验（样本量较小，且总体方差未知）。
b. 总体比例的置信区间
当研究总体的某种比例（如支持率）时，可以用置信区间来推断总体比例的范围。
c. 差异的置信区间
用于比较两个总体均值或比例的差异时，可以计算差异的置信区间来确定总体间差异的可能范围。
6. 置信区间的应用
a. 医学研究
在临床试验中，置信区间常用于估计治疗效果的大小。例如，研究某种药物的疗效是否显著，置信区间可以帮助研究者判断药物的有效性。
b. 市场调研
在市场调研中，置信区间可以用于估计市场份额、顾客满意度等参数的范围。例如，估计某品牌在市场中的份额，置信区间可以帮助估计该份额的上限和下限。
c. 质量控制
在制造业中，置信区间常用于监控产品质量，估计产品在某个规格范围内的比例。
7. 置信区间与假设检验的关系
置信区间和假设检验都是用于统计推断的工具，但它们在使用方式和目标上有所不同：
- 置信区间：用于估计总体参数的范围。它告诉我们总体参数落在某个区间内的可能性。
- 假设检验：用于判断某一特定假设是否成立。它告诉我们是否可以拒绝某个假设。
假设检验的结果与置信区间的一致性：
- 如果我们通过假设检验拒绝了某个值作为总体参数，那么这个值通常不会出现在相应的置信区间内。
- 反之，如果某个值落在置信区间之外，那么我们会拒绝这个值作为总体参数，在对应的假设检验中也会拒绝零假设。
8. 总结
置信区间是统计推断中的重要工具，它提供了总体参数的一个估计范围，并通过置信水平反映了对该估计范围的信心程度。置信区间结合了样本数据和统计理论，帮助我们在不确定性中做出更有依据的推断和决策。
