4. 微分
4.4 复合函数求导法则及其应用
【例4.4.9】向斜向上方向抛一个物体，当
t
=
0
t=0
t=0时，水平速度与垂直向上的速度分别为
v
1
v_1
v1和
v
2
v_2
v2，问在什么时刻速度的方向是水平的？
【解】该物体画出来的轨迹是抛物线
水平方向运动轨迹
x
=
v
1
t
x=v_1t
x=v1t，垂直方向运动轨迹
y
=
v
2
t
−
1
2
g
t
2
y=v_2t-\frac{1}{2}gt^2
y=v2t−21gt2
tan
θ
=
k
=
d
y
d
x
=
v
2
−
g
t
v
1
\tan \theta=k=\frac{dy}{dx}=\frac{v_2-gt}{v_1}
tanθ=k=dxdy=v1v2−gt
当
θ
=
0
\theta = 0
θ=0时，速度是水平的，则
v
2
−
g
t
v
1
=
0
\frac{v_2-gt}{v_1}=0
v1v2−gt=0，亦即
t
=
v
2
g
t=\frac{v_2}{g}
t=gv2
函数：显函数表示，隐函数表示，参数表示
【例】
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
a2x2+b2y2=1，对该椭圆方程求导，看看用哪种方式更方便。
【解】（1）显函数表示：
y
=
±
b
a
a
2
−
x
2
y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}
y=±aba2−x2，
d
y
d
x
=
±
b
a
⋅
−
2
x
2
a
2
−
x
2
=
−
b
2
a
2
⋅
x
±
b
a
a
2
−
x
2
=
−
b
2
a
2
⋅
x
y
\frac{dy}{dx}=\pm\frac{b}{a}\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y}
dxdy=±ab⋅2a2−x2−2x=−a2b2⋅±aba2−x2x=−a2b2⋅yx
注意一点，
y
=
0
y=0
y=0时导数不存在，导数无穷大，反映到切线的斜率上面，这两点并不是没有切线，只不过切线斜率是无穷大（垂直于
x
x
x轴）
（2）参数表示：
{
x
=
a
cos
t
y
=
b
sin
t
,
0
≤
t
≤
2
π
\left\{\begin{matrix} x=a\cos t \\ y=b\sin t \end{matrix}\right.,0\le t \le 2\pi
{x=acosty=bsint,0≤t≤2π
d
y
d
x
=
b
cos
t
−
a
sin
t
=
b
2
a
cos
t
−
a
2
b
sin
t
=
−
b
2
a
2
⋅
x
y
\frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=\frac{b^2a\cos t}{-a^2b\sin t}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y}
dxdy=−asintbcost=−a2bsintb2acost=−a2b2⋅yx
（3）隐函数表示：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
a2x2+b2y2=1，对方程两边同时对
x
x
x求微分，得
1
a
2
2
x
d
x
+
1
b
2
2
y
d
y
=
0
\frac{1}{a^2}2xdx+\frac{1}{b^2}2ydy=0
a212xdx+b212ydy=0，即
d
y
d
x
=
−
b
2
a
2
⋅
x
y
\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y}
dxdy=−a2b2⋅yx
对方程两边同时对
x
x
x求导得：
1
a
2
2
x
+
1
b
2
2
y
y
′
=
0
\frac{1}{a^2}2x+\frac{1}{b^2}2yy'=0
a212x+b212yy′=0，即
y
′
(
x
)
=
−
b
2
a
2
⋅
x
y
y'(x)=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y}
y′(x)=−a2b2⋅yx
