论文

[1].CSC321 Lecture 10: Automatic Differentiation
[2].Automatic Differentiation in Machine Learning:a Survey

关键点总结：

1. 雅可比矩阵：对于多变量函数 $\vec{y}=f(\vec{x})$，其梯度矩阵（即雅可比矩阵）$J$ 的每个元素表示为：
   $$J_{ij}=\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$$

2. 链式法则：在计算复合函数的梯度时，通过链式法则可以将中间变量的梯度与最终输出的梯度结合起来。例如，若 $l=g(\vec{y})$ 是标量函数，其梯度 $v$ 为：
   $$v=\left(\frac{\partial l}{\partial y_1},\cdots ,\frac{\partial l}{\partial y_m}\right)$$
   则 $l$ 关于 $\vec{x}$ 的梯度可以通过计算 $v$ 与 $J$ 的乘积得到：
   $$vJ=\left(\frac{\partial l}{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial l}{\partial x_n}\right)$$

3. 梯度累加：在 PyTorch 中，梯度在反向传播过程中是累加的。每次调用 .backward() 方法时，计算的梯度会累加到张量的 .grad 属性中。因此，为了避免梯度累积导致计算错误，通常需要在每次反向传播之前手动将梯度清零，常用的方法是使用 optimizer.zero_grad() 或者 tensor.grad.zero_()。
   
   
   

示例代码：

import torch

# 定义一个简单的多变量函数
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)
y = torch.cat([x ** 2, x ** 3], dim=0)

# 定义一个标量函数
l = y.sum()

# 计算梯度
l.backward()

# 查看梯度
print(x.grad)

# 梯度清零
x.grad.zero_()

总结：

• torch.autograd 通过自动计算雅可比矩阵的乘积来实现反向传播。
• 每次反向传播后，梯度会累加，因此需要手动清零以避免梯度累积问题。
• 这种方法使得深度学习模型的训练过程更加高效和简洁。