线性规划

线性规划数学模型

一、定义

线性规划是运筹学的一个重要分支，专注于研究在线性约束条件下如何求解线性目标函数的极值问题。它可用于解决各种领域内的极值问题，特别是资源分配和优化问题。

二、数学模型

线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。

• 决策变量：x1, x2, …, xn，代表问题中的未知量。
• 目标函数：通常表示为Z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中ci是目标函数的系数，表示每个决策变量对目标函数的影响程度。目标函数可以是最大化（max）或最小化（min）。
• 约束条件：一组线性等式或不等式，用于限制决策变量的取值范围。例如，a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1，表示第一个约束条件。

线性规划的数学模型可以表示为：

• 最大化：max Z=c1x1+c2x2+…+cnxn

• 约束条件：

  • a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1
  • a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2
  • …
  • am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm
  • x1, x2, …, xn ≥ 0

三、性质

线性规划模型具有以下性质：

• 线性关系：目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数。
• 最优解存在性：在满足一定条件下，线性规划问题总有最优解。
• 可行域：由所有满足约束条件的决策变量组成的集合称为可行域。

四、公式

线性规划的主要公式即目标函数和约束条件，如上所述。此外，还有一些用于求解线性规划问题的公式和定理，如单纯形法中的基变量、非基变量、检验数等。

五、算法过程

线性规划问题的求解算法主要包括图解法、单纯形法、内点法等。其中，单纯形法是最常用的求解方法。

• 单纯形法的基本步骤：

  1. 将线性规划问题转化为标准形式。
  2. 找出初始基本可行解。
  3. 判断当前基本可行解是否最优。如果不是，则进行迭代。
  4. 通过旋转操作找到新的基本可行解。
  5. 重复步骤3和4，直到找到最优解。

六、例子和例题

例子1：背包问题

假设一个登山队员需要携带食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设备登山，每种物品的重量和重要性系数如下表所示：

物品	食品	氧气	冰镐	绳索	帐篷	照相机	通讯设备
重量	5kg	5kg	2kg	6kg	12kg	2kg	4kg
重要性系数	20	15	18	14	8	4	10

登山队员可携带的最大重量为25公斤，如何安排携带的物品以使得所携带物品最具重要性？

这个问题可以转化为一个线性规划问题，通过求解可以找到最优的携带方案。

例题2：生产计划问题

某公司生产A、B、C三种产品，每种产品的生产需要消耗不同的资源，并且每种产品的利润也不同。公司需要制定一个生产计划，以在有限的资源下最大化总利润。

设xi表示第i种产品的生产数量（i=1,2,3），目标函数为总利润Z=c1x1+c2x2+c3x3，其中ci表示第i种产品的单位利润。约束条件包括资源限制、生产时间限制等，可以表示为线性不等式或等式。

例如，假设有以下约束条件：

• 原材料限制：a11x1+a12x2+a13x3≤b1
• 生产时间限制：a21x1+a22x2+a23x3≤b2
• 决策变量非负：x1, x2, x3 ≥ 0

通过求解这个线性规划问题，可以找到最优的生产计划（x1*, x2*, x3*），使得总利润Z达到最大。

请注意，上述例子和例题是为了说明线性规划在实际问题中的应用而简化的。在实际应用中，线性规划问题可能更加复杂，需要更多的决策变量和约束条件来描述。

线性规划标准形式

是一种特定的表达方式，它使得问题更易于求解和分析。以下是线性规划数学模型标准形式的详细解释：

一、目标函数

目标函数是线性规划模型中要优化（最大化或最小化）的函数。
在标准形式中，目标函数通常表示为求最大值的形式。
如果原问题是最小化问题，可以通过乘以-1将其转化为最大化问题。
目标函数的一般形式为：

$$\max Z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$$

其中，$Z$ 是目标函数的值，$c_1,c_2,\dots ,c_n$是目标函数的系数，$x_1,x_2,\dots ,x_n$是决策变量。

二、约束条件

约束条件是限制决策变量取值范围的线性等式或不等式。在标准形式中，约束条件通常表示为等式形式，并且所有决策变量都要求非负（即 $x_i\ge 0$）。如果原问题中有不等式约束或决策变量无约束，可以通过引入松弛变量或剩余变量将其转化为等式约束和非负变量。

约束条件的一般形式为：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\ge 0\end{array}$$

其中，$a_{ij}$是约束条件的系数，$b_i$ 是约束条件的右端常数，$m$ 是约束条件的数量。

三、标准形式的总结

综上所述，线性规划数学模型的标准形式可以概括为以下几点：

1. 目标函数为求最大值的形式（如果是最小化问题，需先转化为最大化问题）。
2. 约束条件为等式形式（如果是不等式约束，需先转化为等式约束）。
3. 所有决策变量都要求非负（即 $x_i\ge 0$）。

通过将线性规划问题转化为标准形式，我们可以更方便地使用现有的算法和工具进行求解。同时，标准形式也有助于我们更清晰地理解和分析问题。

将线性规划数学模型转化为标准形式

它能够使得问题更易于求解和分析。以下是一般线性规划数学模型如何转化为标准形式的步骤：

一、目标函数的转化

1. 最大化问题：
   如果原问题已经是最大化问题，且目标函数是线性的，则无需改变目标函数的形式。

2. 最小化问题：
   如果原问题是最小化问题，我们需要将目标函数乘以-1，从而将其转化为最大化问题。例如，原目标函数为$\min Z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$，转化为标准形式后为$\max Z^{\prime }=-c_1{x}_1-c_2{x}_2-\cdots -c_n{x}_n$，其中$Z^{\prime }=-Z$。

二、约束条件的转化

1. 等式约束：
   对于已经是等式形式的约束条件，无需改变。

2. 不等式约束：
   对于不等式约束，我们需要引入松弛变量（对于“≤”型不等式）或剩余变量（对于“≥”型不等式）将其转化为等式约束。

   • “≤”型不等式：
     例如，原约束条件为$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n\le b_i$，我们可以引入松弛变量$x_{n+i}$（且$x_{n+i}\ge 0$），将其转化为等式约束：$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n+x_{n+i}=b_i$。

   • “≥”型不等式：
     例如，原约束条件为$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n\ge b_i$，我们可以引入剩余变量$x_{n+i}$（且$x_{n+i}\ge 0$），并改变不等式的方向，再将其转化为等式约束：$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n-x_{n+i}=b_i$（注意这里$-x_{n+i}$在等式中出现，但因为我们要求$x_{n+i}\ge 0$，所以实际上这是在对原不等式进行“补足”以使其成为等式）。然而，在标准形式中，我们通常更倾向于处理“≤”型不等式，因此可以通过将等式两边同时乘以-1来消去负号，得到：$-a_{i1}{x}_1-a_{i2}{x}_2-\cdots -a_{in}{x}_n+x_{n+i}=-b_i$，并且此时仍然保持$x_{n+i}\ge 0$。但在实际应用中，为了简化问题，我们往往直接处理原始的“≥”型不等式为“≤”型后再引入松弛变量。

     不过，更常见且直接的方法是，对于“≥”型不等式，我们可以先将其转化为“≤”型（即乘以-1），然后再像处理“≤”型不等式那样引入松弛变量。这样做之后，我们得到的等式约束中的系数和常数项都会变号。

3. 决策变量的非负性：
   确保所有决策变量（包括原始变量和引入的松弛变量或剩余变量）都满足非负性条件，即$x_i\ge 0$对于所有$i$。

三、转化后的标准形式

经过上述转化步骤后，我们得到的线性规划数学模型的标准形式如下：

$$\max Z^{\prime }=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}{c}_i^{\prime }{x}_i$$ （其中$n^{\prime }$可能大于$n$，因为引入了松弛变量或剩余变量）

s.t. (subject to，受约束于)

$$\{\begin{array}{ll}{\sum }_{i=1}^{n^{\prime }}{a}_{ij}^{\prime }{x}_i=b_j^{\prime }& \text{对于所有 }j=1,2,\dots ,m^{\prime }\\ x_i\ge 0& \text{对于所有 }i=1,2,\dots ,n^{\prime }\end{array}$$

其中，$c_i^{\prime }$、$a_{ij}^{\prime }$和$b_j^{\prime }$是转化后的系数和常数项，$m^{\prime }$是约束条件的数量（可能等于或大于原始的$m$，因为可能引入了多个松弛变量或剩余变量来处理不等式约束）。

请注意，在实际应用中，我们可能还需要对问题进行进一步的预处理，例如缩放系数、消除冗余约束等，以简化求解过程。此外，有些线性规划软件或工具可能能够自动处理非标准形式的输入，并在内部将其转化为标准形式进行求解。

线性规划数学模型转化为标准形式的例子和例题

例子

考虑一个简单的线性规划问题：

• 目标函数：最小化 $z=2x_1+3x_2$

• 约束条件：

  • $x_1+2x_2\le 4$
  • $x_1-x_2\ge 2$
  • $x_1+x_2=2$
  • $x_1,x_2\ge 0$

转化步骤：

1. 目标函数：因为是最小化问题，所以乘以-1变为最大化问题：$\max z^{\prime }=-2x_1-3x_2$

2. 约束条件：

   • 对于 $x_1+2x_2\le 4$，引入松弛变量 $x_3\ge 0$，变为 $x_1+2x_2+x_3=4$
   • 对于 $x_1-x_2\ge 2$，引入剩余变量 $x_4\ge 0$ 并乘以-1，变为 $-x_1+x_2+x_4=-2$，再乘以-1得到 $x_1-x_2-x_4=2$
   • $x_1+x_2=2$ 已经是等式形式，无需改变

转化后的标准形式：

• 目标函数：$\max z^{\prime }=-2x_1-3x_2$

• 约束条件：

  • $x_1+2x_2+x_3=4$
  • $x_1-x_2-x_4=2$
  • $x_1+x_2=2$
  • $x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0$

例题

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都需要使用A、B两种原料。已知生产甲产品需要A原料2单位、B原料1单位，生产乙产品需要A原料1单位、B原料2单位。工厂每天可获得的A原料最多为10单位，B原料最多为8单位。甲产品每件的利润为4元，乙产品每件的利润为3元。问工厂应如何安排生产，以使得总利润最大？

数学模型：

• 决策变量：设生产甲产品为 $x_1$ 件，生产乙产品为 $x_2$ 件。

• 目标函数：最大化 $z=4x_1+3x_2$

• 约束条件：

  • $2x_1+x_2\le 10$ （A原料限制）
  • $x_1+2x_2\le 8$ （B原料限制）
  • $x_1,x_2\ge 0$

转化步骤：

1. 目标函数：已经是最大化问题，无需改变。

2. 约束条件：

   • 对于 $2x_1+x_2\le 10$，引入松弛变量 $x_3\ge 0$，变为 $2x_1+x_2+x_3=10$
   • 对于 $x_1+2x_2\le 8$，引入松弛变量 $x_4\ge 0$，变为 $x_1+2x_2+x_4=8$

转化后的标准形式：

• 目标函数：$\max z=4x_1+3x_2$

• 约束条件：

  • $2x_1+x_2+x_3=10$
  • $x_1+2x_2+x_4=8$
  • $x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0$

通过这些例子和例题，我们可以看到，将线性规划数学模型转化为标准形式主要涉及到目标函数的转化（如果是最小化问题则乘以-1变为最大化问题）和约束条件的转化（将不等式转化为等式，并引入松弛变量或剩余变量）。

参考文献

1. 文心一言