1.二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.堆的概念和结构

这里的堆是一种数据结构，可以分为物理结构和逻辑结构，优先级队列。

物理：数组

逻辑：完全二叉树

堆的性质：

堆可以分为大堆和小堆。

注意：大堆和小堆都不代表有序。

后面需要相应的代码调整来实现它的有序（这就是后面要讲的堆排序）。

大堆：父亲大于等于孩子

小堆：父亲小于等于孩子

3.堆的实现

3.1建堆

对于给定的一个数组，在这个数组逻辑上可以看做是一个完全二叉树，我们可以通过算法把它调整成为大堆或者小堆，建堆可以分为向上调整建堆和向下调整建堆。

以下是向上建堆建成小堆的代码示例，大堆只要改成 > 就行了。

向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

以下是向下调整建堆建成小堆的代码示例，大堆只要改成 > 就行了。

3.2建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树。

为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的 就是近似值，多几个结点不影响最终结果)：

以下示例用公式推导来详细介绍向下调整建堆的时间复杂度。

向下调整建堆是从最后一个非叶子结点的子树开始调整，一直调到根节点的树，就可以调整成堆。

向上调整建堆的时间复杂度是O（N*logN）

向上调整建堆的公式推导与上面类似，有兴趣的可以自己推导一番.

3.3堆的插入

3.4堆的删除

3.5堆的应用

3.5.1堆排序

堆排序就是用堆的思想来进行排序，一共分为两个步骤：

        1.建堆

                降序：建小堆

                升序：建大堆

        2.利用堆的删除思想来进行排序

                建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

3.5.2TOP - K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，直接建成大堆或者小堆取前K个元素。

但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。

最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆（时间复杂度O（K））

        前k个元素，建小堆

        前k个元素，建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

（时间复杂度O（logK*(N - K)））

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后

堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

3.总的时间复杂度O(N)

3.6堆的实现

数据结构: 手撕数据结构 - Gitee.com