1·Lambertian漫反射材质

一个物体的材质，可以分成两部分来看，因为物体没有绝对光滑和绝对粗糙

漫反射：由于物体粗糙，那么对于微小平面，光线会向四周反射，光源的一部分光线传回人眼

镜面反射：假设物体绝对光滑，那么反射方向都是一致的，因此当特定角度观察，光线很大一部分传到人眼

物体越粗糙，漫反射材质部分占比越大

步骤：

为了模拟漫反射材质，我们生成随机反射方向，这个方向根据，交点的法线终点坐标为中心的单位球体内，生成随机点，求得反射光线（随机点 - 交点）

如何在单位球体生成随机点？

首先根据在一个-1---1的单位立方体内,生成随机点，如果这个点在球外（向量长度>1,超出了单位球的半径)就重新生成直到该点在球内:

然后 ，交点法线 + 随机点向量 = 反射方向

vec3 random_in_unit_sphere() {
    while (true) {
        auto p = vec3::random(-1,1);
        if (p.length_squared() >= 1) continue;
        return p;
    }
}

递归求光线颜色

• 如果有交点，生成随机反射光线，递归 * 0.5，因此次数越多会越暗
• 如果递归超过50次，那么返回0,防止一直有有交点不断反射的情况
• 如果没有交点，返回背景颜色

结果：

2·伽马校正(gamma corrected)

 我们看到的球体比较暗，这其实和计算的数据不符合，因为屏幕CRT2.2会自动校正颜色，因此我们应该进行gamma校正（1/2.2次幂），让我们看到实际颜色值

这里简单的应用x^1/2次幂，也就是 sqrt(x)

3`优化

为了防止自相交，t==0.000……1的情况 ,我们将t的范围控制在>0.001

我们生成的随机点是单位球体积内, 这样生成的向量大概率上会和法线方向相近, 并且极小概率会沿着入射方向反射回去。

但是真正的反射分布率会更加均衡。这是因为我们选取的是单位球面上的点。我们可以通过在单位球内选取一个随机点, 然后将其单位化来获得该点。

vec3 random_unit_vector() {
    auto a = random_double(0, 2*pi);
    auto z = random_double(-1, 1);
    auto r = sqrt(1 - z*z);
    return vec3(r*cos(a), r*sin(a), z);
}

兰伯特球体： 

还有一种方式，选取随机反射方向：通过在交点取单位球体的随机方向，然后再和物体的normal点乘，判断是否在物体表面的半球 

4·金属材质

我们将材质类抽象出来，虚函数scatter散射函数，它会返回反射率（albedo），和散射光线

Lambertian材质继承material材质基类，散射光线是随机生成的

另外创建一个新的metal材质继承material材质基类，散射光线遵守反射定律，通过：

首先点乘vn，因为n是单位向量，点乘表示向量v在这个单位向量方向n上的投影长度，||v||costheta（三角函数）

因为vn方向相反，因此点乘cos结果为负数，即在n的反向方向的投影，因此需要加符号

反射向量 = v + 2(v在n 的投影长度)

vec3 reflect(const vec3& v, const vec3& n) {
    return v - 2*dot(v,n)*n;
}

可以让金属模糊，方法是以反射向量终点为单位球心，生成随机点，用这个点作为最终的反射方向 

通过fuzz变量控制模糊程度，随机向量 * fuzz，fuzz越大随机球的半径越大

可以看到越来越接近漫反射材质，左边0.3，右边1.0

5·绝缘体材质

 透明的材料, 例如水, 玻璃, 和钻石都是绝缘体。当光线击中这类材料时, 一条光线会分成两条, 一条发生反射, 一条发生折射。我们假设它每次要么是反射，要么是折射

斯内尔定律/折射定律：eta和eta prime是折射率，theta和theta prime是入射光线与折射光线距离法相的夹角

我们要表示折射向量，首先将折射向量Rprimer分解为，两个投影方向的加法，下面是一个经过推导后的结论，其中costheta（- 入射向量 * 法线）

 根据这个结论，写出refract折射函数，返回折射向量，

创建一个新的dielectric绝缘体材质，ref_idx是入射介质折射率，如果法线是正面的，那么eta / eta prime = 1 / ref_idx（空气折射率为1），否则法线反面，代表光线从物体内部折射出去，也就是ref_idx / 1 = ref_idx

设置散射光线为折射光线，但是这是会出现黑点，这是由于eta > eta prime导致的，比如从玻璃1.3进入空气，如果eta /  eta prime * sintheta >1,也就是sintheta primer>1这根本不可能求解，

因此无法计算折射光线的结果，我们应该在不会发生折射时进行反射

全内反射：所有的光线都不发生折射, 转而发生了反射，它经常在实心物体的内部发生

double cos_theta = ffmin(dot(-unit_direction, rec.normal), 1.0);
double sin_theta = sqrt(1.0 - cos_theta*cos_theta);
if (etai_over_etat * sin_theta > 1.0)
{
    vec3 reflected = reflect(unit_direction, rec.normal);
    scattered = ray(rec.p, reflected);
    return true;
}

优化：

最左侧是玻璃材质，这和现实世界的玻璃还不同，现实世界中的玻璃, 发生折射的概率会随着入射角而改变，从一个很狭窄的角度去看玻璃窗, 它会变成一面镜子

有个数学上近似的等式, 它是由Christophe Schlick提出的（几何函数：微平面间相互遮蔽的比率）:

其中如果光线和物体法线，以一定角度观察，也会执行反射

double schlick(double cosine, double ref_idx) {
    auto r0 = (1-ref_idx) / (1+ref_idx);
    r0 = r0*r0;
    return r0 + (1-r0)*pow((1 - cosine),5);
}
double reflect_prob = schlick(cos_theta, etai_over_etat);
if (random_double() < reflect_prob)
{
    vec3 reflected = reflect(unit_direction, rec.normal);
    scattered = ray(rec.p, reflected);
    return true;
}

对于想要渲染通透的玻璃，需要两个球体，把一个小球套在大球里,半径设置为负数

6·摄像机 

优化我们的摄像机类，使得在创建相机时，可以轻松调整高度方向的视角fov theta，并且指定aspect 屏幕宽高比，和调整摄像机位置和旋转

那么屏幕（摄像机）一半高度可以由这两个参数表示 ==  half_height（==tan(fov theta / 2) == h / z，假设-z为1时省略，z越大，h越大        ），一半宽度 == aspect  * half_height

 调整摄像机位置和旋转，为了描述位置，我们建立lookfrom摄像机的位置,lookat看向的点，为了描述旋转，建立正上方向向量vup，可以绕着lookfrom--lookat轴旋转

class camera
{
public:
    camera(
        vec3 lookfrom, vec3 lookat, vec3 vup, /* 摄像机位置，屏幕的中心，上向量 */
        double vfov,                          /* 高度视角 */
        double aspect)                        /* 宽高比 */
    {
        origin = lookfrom; /* 摄像机原点 */
        vec3 u, v, w;
        /* 根据fov视角，计算宽高的长度 */
        auto theta = degrees_to_radians(vfov);
        auto half_height = tan(theta / 2);
        auto half_width = aspect * half_height;

        w = unit_vector(lookfrom - lookat); /* lookfrom-lookat */
        u = unit_vector(cross(vup, w));     /* 屏幕x坐标方向 */
        v = cross(w, u);                    /* 屏幕y坐标方向 */
        /*
            摄像机起点到屏幕平面形成锥形区域，我们计算左下点向量，实际是从摄像机向屏幕左下的向量
            左下角：屏幕一半的宽高分别*uv向量，有了两个从lookfrom出发的向量
            origin - 宽向量，向量取反，  -高向量，获得从uv平面lookfrom指向左下的向量，
            -w获得从lookfrom指向以lookat为中心屏幕的左下角
         */
        lower_left_corner = origin - (half_width * u) - (half_height * v) - w; /* */

        horizontal = 2 * half_width * u; /* 水平和垂直向量 */
        vertical = 2 * half_height * v;
    }

    ray get_ray(double s, double t)
    {
        /*
            向量位置无关性，那么为什么摄像机的origin的位置会影响渲染结果？
            因为ray的创建指定了origin，在世界空间从origin位置发射光线，求这个光线的交点
         */
        /*
            左下向量 + s向量 + t向量 获得从origin为起点，指向新的像素坐标
         */
        return ray(origin, lower_left_corner + (s * horizontal) + (t * vertical) - origin);
    }

public:
    vec3 origin;            /* 原点 */
    vec3 lower_left_corner; /* 左下 */
    vec3 horizontal;        /* 宽度 */
    vec3 vertical;          /* 高度 */
};

不同fov大小 

 

7·散焦模糊

不在从lookfrom发射光线，而是指定aperture孔径大小，随机球面生成lookfrom光线起点方向

focus_dist交点距离

8·渲染大场景

利用之前所有的框架，渲染多个球体，使用不同的材质，设置球体大小和位置