在本节中，我们将找到对数函数 $y={\log }_{b}x$ 和指数函数 $y=b^x$ 的导数。我们从自然对数函数 $y=\ln x$ 开始。我们知道它是可导的，因为它是可导函数 $y=e^x$ 的反函数。

$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\text{\hspace{1em}(1)}$$

证明 设 $y=\ln x$。则有：

$$e^y=x$$

对该方程关于 $x$ 隐式求导，我们得到：

$$e^y\frac{dy}{dx}=1$$

所以：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$$

例1 求导数 $y=\ln (x^3+1)$。

解 使用链式法则，我们令 $u=x^3+1$。则 $y=\ln u$，因此：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx}$$

$$=\frac{1}{x^3+1}(3x^2)=\frac{3x^2}{x^3+1}$$

通常，如果我们将公式 1 与链式法则结合使用，如例 1 所示，我们得到：

$$\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}\text{\hspace{1em}(2)}$$

或

$$\frac{d}{dx}[\ln g(x)]=\frac{g’(x)}{g(x)}$$

例2 求 $\frac{d}{dx}\ln (\sin x)$。

解 使用公式 (2)，我们有：

$$\frac{d}{dx}\ln (\sin x)=\frac{1}{\sin x}\cdot \frac{d}{dx}(\sin x)=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\cot x$$

例3 求导数 $f(x)=\sqrt{\ln x}$。

解 这次对数是内函数，因此链式法则给出：

$$f’(x)=\frac{1}{2}(\ln x{)}^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$$

例4 求 $\frac{d}{dx}\ln \frac{x+1}{\sqrt{x-2}}$。

解法 1：

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\ln \frac{x+1}{\sqrt{x-2}}& =\frac{1}{\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}\right)\\ & =\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left(x+1\right)\cdot 1-(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)(x-2{)}^{-1/2}\\ & =\frac{x-2-\frac{1}{2}(x+1)}{(x+1)(x-2)}\\ & =\frac{x-5}{2(x+1)(x-2)}\end{array}$$

解法 2 如果我们首先利用对数的性质简化给定的函数，那么求导会更容易一些：

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\ln \frac{x+1}{\sqrt{x+2}}& =\frac{d}{dx}\left[\ln (x+1)-\frac{1}{2}\ln (x-2)\right]\\ & =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-2}\right)\end{array}$$

（这个答案可以保持不变，但如果我们使用公分母，我们会发现它与解法 1 中的答案相同。）

例5 求 $f(x)=x^2\ln x$ 的绝对最小值。

解 定义域是 $(0,\infty )$，使用乘积法则，得到：

$$f’(x)=x^2\cdot \frac{1}{x}+2x\ln x=x(1+2\ln x)$$

因此，当 $2\ln x=-1$ 时，$f’(x)=0$，即 $\ln x=-\frac{1}{2}$，或者 $x=e^{-1/2}$。此外，当 $x>e^{-1/2}$ 时，$f’(x)>0$；当 $0<x<e^{-1/2}$ 时，$f’(x)<0$。因此，根据绝对极值的第一次导数检验法，$f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=-\frac{1}{2e}$ 是绝对最小值。

例6 根据 3.5 节的指南讨论曲线 $y=\ln (4-x^2)$。

A. 定义域是：

$$x\mid 4-x^2>0=x\mid x^2<4=x\mid |x|<2=(-2,2)$$

B. $y$ 轴截距为 $f(0)=\ln 4$。要找到 $x$ 轴截距，我们设：

$$y=\ln (4-x^2)=0$$

我们知道 $\ln 1={\log }_{e}1=0$ (因为 $e^0=1$)，所以 $4-x^2=1\Rightarrow x^2=3$，因此 $x$ 轴截距为 $\pm \sqrt{3}$。

C. 由于 $f(-x)=f(x)$，$f$ 是偶函数，曲线关于 $y$ 轴对称。

D. 我们查看定义域端点处的竖直渐近线。由于 $4-x^2\to 0^{+}$ 当 $x\to 2^{-}$ 以及 $x\to -2^{+}$，我们有：

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\ln (4-x^2)=-\infty$$

$$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\ln (4-x^2)=-\infty$$

根据 (6.3.8) 式，因此 $x=2$ 和 $x=-2$ 是竖直渐近线。

E.

$$f’(x)=\frac{-2x}{4-x^2}$$

由于当 $-2<x<0$ 时 $f’(x)>0$，而当 $0<x<2$ 时 $f’(x)<0$，函数 $f$ 在 $(-2,0)$ 上递增，并在 $(0,2)$ 上递减。

F. 唯一的临界点是 $x=0$。由于 $f’(x)$ 在 0 处从正变为负，因此根据第一次导数检验法，$f(0)=\ln 4$ 是局部最大值。

G.

$$f’’(x)=\frac{(4-x^2)(-2)+2x(-2x)}{(4-x^2{)}^2}=\frac{-8-2x^2}{(4-x^2{)}^2}$$

由于对于所有 $x$，$f’’(x)<0$，曲线在 $(-2,2)$ 上向下凹，且没有拐点。

H. 使用这些信息，我们在图 2 中绘制曲线。

例7 如果 $f(x)=\ln |x|$，求 $f’(x)$。

解 由于

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln x& \text{if }x>0\\ \ln (-x)& \text{if }x<0\end{array}$$

因此：

$$f’(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}& \text{if }x>0\\ \frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}& \text{if }x<0\end{array}$$

因此 $f’(x)=\frac{1}{x}$ 对所有 $x\ne 0$ 成立。

例 7 的结果值得记住：

$$\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x}\text{\hspace{1em}(3)}$$

对应的积分公式是：

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C\text{\hspace{1em}(4)}$$

注意，这填补了幂函数积分公式中的空白：

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{if }n\ne -1$$

缺少的情况 $(n=-1)$ 由公式 4 提供。

例8 求正确到小数点后三位，从 $x=1$ 到 $x=2$，双曲线 $xy=1$ 下方区域的面积。

解 给定的区域如图 4 所示。使用公式 4（由于 $x>0$，无需绝对值符号），我们得到面积为：

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_1^2\frac{1}{x}dx=[\ln x{]}_1^2\\ & =\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0.693\end{array}$$

例9 计算 $\int \frac{x}{x^2+1}dx$。

解 我们使用替换 $u=x^2+1$，因为微分 $du=2xdx$（除了常数因子 2 之外）。因此，$xdx=\frac{1}{2}du$，并且：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{x^2+1}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln |u|+C\\ & =\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+C=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C\end{array}$$

注意，我们移除了绝对值符号，因为 $x^2+1>0$ 对所有 $x$ 都成立。我们可以使用对数的性质将答案写成：

$$\ln \sqrt{x^2+1}+C$$

但这并不必要。

例10 计算 ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx$。

解 我们令 $u=\ln x$，因为它的微分 $du=dx/x$ 出现在积分中。当 $x=1$ 时，$u=\ln 1=0$；当 $x=e$ 时，$u=\ln e=1$。因此：

$${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx={\int }_0^{1}udu={\left[\frac{u^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}$$

例11 计算 $\int \tan x,dx$。

解 首先，我们将正切函数表示为正弦和余弦的比值：

$$\int \tan x,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x},dx$$

这提示我们应该替换 $u=\cos x$，因此 $du=-\sin x,dx$，从而有：

$$\begin{array}{rl}\int \tan x,dx& =\int \frac{\sin x}{\cos x},dx=-\int \frac{1}{u},du\\ & =-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C\end{array}$$

由于 $-\ln |\cos x|=\ln (|\cos x{|}^{-1})=\ln (1/|\cos x|)=\ln |\sec x|$，例 11 的结果也可以写为：

$$\int \tan x,dx=\ln |\sec x|+C\text{\hspace{1em}(5)}$$

一般对数函数与指数函数

公式 6.3.7 用自然对数函数表达了以 $b$ 为底的对数函数：

$${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$$

由于 $\ln b$ 是常数，我们可以对其进行如下求导：

$$\frac{d}{dx}({\log }_{b}x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln b}\right)=\frac{1}{\ln b}\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x\ln b}$$

因此：

$$\frac{d}{dx}({\log }_{b}x)=\frac{1}{x\ln b}\text{\hspace{1em}(6)}$$

例12 使用公式 6 和链式法则，我们得到：

$$\frac{d}{dx}{\log }_{10}(2+\sin x)=\frac{1}{(2+\sin x)\ln 10}\frac{d}{dx}(2+\sin x)=\frac{\cos x}{(2+\sin x)\ln 10}$$

从公式 6 中我们可以看到自然对数（以 $e$ 为底的对数）在微积分中使用的一个主要原因：当 $b=e$ 时，微分公式最简单，因为 $\ln e=1$。

以 $b$ 为底的指数函数

在 6.2 节中，我们展示了一般指数函数 $f(x)=b^x,b>0$ 的导数是其本身的常数倍：

$$f’(x)=f’(0)b^x$$

其中：

$$f’(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{b^h-1}{h}$$

现在我们可以证明这个常数是 $f’(0)=\ln b$。

$$\frac{d}{dx}(b^x)=b^x\ln b\text{\hspace{1em}(7)}$$

证明 我们使用事实 $e^{\ln b}=b$：

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(b^x)& =\frac{d}{dx}\left(e^{\ln b\cdot x}\right)=\frac{d}{dx}\left(e^{(\ln b)x}\right)=e^{(\ln b)x}\cdot \frac{d}{dx}\left((\ln b)x\right)\\ & =(e^{\ln b\cdot x})(\ln b)=b^x\ln b\end{array}$$

在例 2.7.6 中，我们考虑了每小时细胞数量翻倍的细菌种群，观察到 $t$ 小时后的种群数量为 $n=n_0{2}^t$，其中 $n_0$ 是初始种群。公式 7 使我们能够找到增长率：

$$\frac{dn}{dt}=n_0{2}^t\ln 2$$

例13 结合公式 7 和链式法则，我们有：

$$\frac{d}{dx}(10^{x^2})=10^{x^2}(\ln 10)\frac{d}{dx}(x^2)=(2\ln 10)x10^{x^2}$$

由公式 7 推导出的积分公式是：

$$\int b^{x}dx=\frac{b^x}{\ln b}+Cb\ne 1$$

例 14

$${\int }_0^5{2}^{x}dx={\left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]}_0^5=\frac{2^5}{\ln 2}-\frac{2^0}{\ln 2}=\frac{32}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 2}=\frac{31}{\ln 2}$$

对数微分法

对于涉及积、商或幂的复杂函数的导数计算，通过取对数可以简化。以下示例中使用的方法称为 对数微分法。

例15 求导 $y=\frac{x^{3/4}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2{)}^5}$。

解 我们对方程两边取对数，并使用对数性质进行简化：

$$\ln y=\frac{3}{4}\ln x+\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-5\ln (3x+2)$$

关于 $x$ 隐式求导得到：

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}-5\cdot \frac{3}{3x+2}$$

解出 $\frac{dy}{dx}$：

$$\frac{dy}{dx}=y\left(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2}\right)$$

由于我们已经有 $y$ 的显式表达式，可以代入得到：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3/4}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2{)}^5}\left(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2}\right)$$

对数微分法的步骤

1. 对等式 $y=f(x)$ 的两边取自然对数，并使用对数的性质进行简化。
2. 关于 $x$ 进行隐式求导。
3. 解出 $y’$。

如果对于某些 $x$ 值，$f(x)<0$，则 $\ln f(x)$ 未定义，但我们仍然可以通过首先写成 $|y|=|f(x)|$ 来使用对数微分法，然后使用公式 3。我们通过证明幂法则的一般版本来说明这一过程，这也是 2.3 节中承诺的内容。

幂法则 如果 $n$ 是任意实数且 $f(x)=x^n$，则
$$f’(x)=n{x}^{n-1}$$

证明 设 $y=x^n$ 并使用对数微分法：

$$\ln |y|=\ln |x^n|=n\ln |x|x\ne 0$$

因此：

$$\frac{y’}{y}=\frac{n}{x}$$

因此：

$$y’=n\frac{y}{x}=n\frac{x^n}{x}=n{x}^{n-1}$$

你应仔细区分幂法则 $\left(\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}\right)$ ，其中底数是变量，指数是常数，和求指数函数导数的法则 $\left(\frac{d}{dx}{b}^x=b^x\ln b\right)$ ，其中底数是常数，指数是变量。

一般来说，底数和指数有四种情况：

• $\frac{d}{dx}(b^n)=0$（$b$ 和 $n$ 是常数）
• $\frac{d}{dx}[f(x){]}^n=n[f(x){]}^{n-1}f’(x)$
• $\frac{d}{dx}[b^{g(x)}]=b^{g(x)}(\ln b)g’(x)$
• 要找到 $\frac{d}{dx}[f(x){]}^{g(x)}$ ，可以使用对数微分法，如下例所示。

例16 求 $y=x^{\sqrt{x}}$ 的导数。

解法 1 由于底数和指数都是变量，我们使用对数微分法：

$$\begin{array}{rl}\ln y& =\ln x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x}\ln x\\ \frac{y’}{y}& =\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}+(\ln x)\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ y’& =y\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=x^{\sqrt{x}}\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)\end{array}$$

解法 2 另一种方法是将 $x^{\sqrt{x}}$ 写成 $(e^{\ln x}{)}^{\sqrt{x}}$：

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\left(x^{\sqrt{x}}\right)& =\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{x}\ln x}\right)=e^{\sqrt{x}\ln x}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\ln x\right)\\ & =x^{\sqrt{x}}\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)\end{array}$$

数字 $e$ 作为极限

我们已经证明，如果 $f(x)=\ln x$，则 $f’(x)=1/x$。因此 $f’(1)=1$。我们现在使用这个事实将数字 $e$ 表示为极限。

从导数作为极限的定义来看，我们有：

$$\begin{array}{rl}f’(1)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+x)-f(1)}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\ln (1+x)\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\ln (1+x{)}^{1/x}\end{array}$$

因为 $f’(1)=1$，我们有：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\ln (1+x{)}^{1/x}=1$$

因此，根据定理 1.8.8 和指数函数的连续性，我们有：

$$e=e^1=e^{{\lim }_{x\to 0}\ln (1+x{)}^{1/x}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\ln (1+x{)}^{1/x}}=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}$$

$$e=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}\text{\hspace{1em}(8)}$$

公式 8 通过函数 $y=(1+x{)}^{1/x}$ 的图形和表格中的一些小 $x$ 值加以说明。这说明了，精确到七位小数：

$$e\approx 2.7182818$$

如果我们将 $n=1/x$ 代入公式 8，那么当 $x\to 0^{+}$ 时，$n\to \infty$，因此 $e$ 的另一种表达式为：

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\text{\hspace{1em}(9)}$$