一、二叉树介绍
1、二叉树（Binary tree）的定义
二叉树（binary tree）是树形结构的一个重要类型，是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树，如下图，左图为二叉树，右图为非二叉树：
2、二叉树具的性质
性质1：二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个节点。
性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个节点。
性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。
性质4：具有n个节点的满二叉树深为log2(n+1)。
性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。
当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。
若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。
若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。
3、满二叉树
如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为2，则此二叉树称为满二叉树， 如下图为满二叉树：
满二叉树除了满足普通二叉树的性质，还具有以下性质：
性质1、满二叉树中第 i 层的节点数为 2n-1 个。
性质2、深度为 k 的满二叉树必有 2k-1 个节点 ，叶子数为 2k-1。
性质3、满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
性质4、具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)。
4、完全二叉树
如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树，如下入，左图为完全二叉树，右图为非完全二叉树：
完全二叉树除了具有普通二叉树的性质，它自身也具有一些独特的性质，比如说，n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1。
⌊log2n⌋ 表示取小于 log2n 的最大整数。例如，⌊log24⌋ = 2，而 ⌊log25⌋ 结果也是 2。
对于任意一个完全二叉树来说，如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号（如图 3a)），对于任意一个结点 i ，完全二叉树还有以下几个结论成立：
- 当 i>1 时，父亲结点为结点 [i/2] 。（i=1 时，表示的是根结点，无父亲结点）
2、如果 2*i>n（总结点的个数） ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2*i 。
3、如果 2*i+1>n ，则结点 i 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2*i+1 。
二、二叉树的存储结构
1、顺序存储
二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树。换句话说，只有完全二叉树才可以使用顺序表存储。因此，如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树。满二叉树也可以使用顺序存储。要知道，满二叉树也是完全二叉树，因为它满足完全二叉树的所有特征。
普通二叉树转完全二叉树的方法很简单，只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。如图将不同二叉树用0来补齐节点：
解决了二叉树的转化问题，接下来看看如何顺序存储完全（满）二叉树。
完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可，上图中补齐的完全二叉树在内存中的顺序存储结构如下表：
| 1 |
2 |
0 |
4 |
0 |
0 |
