[NOIP1998 普及组] 幂次方

题目描述

任何一个正整数都可以用 $2$ 的幂次方表示。例如 $137=2^7+2^3+2^0$。

同时约定次方用括号来表示，即 $a^b$ 可表示为 $a(b)$。

由此可知，$137$ 可表示为 $2(7)+2(3)+2(0)$

进一步：

$7=2^2+2+2^0$ ( $2^1$ 用 $2$ 表示)，并且 $3=2+2^0$。

所以最后 $137$ 可表示为 $2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)$。

又如 $1315=2^{10}+2^8+2^5+2+1$

所以 $1315$ 最后可表示为 $2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)$。

输入格式

一行一个正整数 $n$。

输出格式

符合约定的 $n$ 的 $0,2$ 表示（在表示中不能有空格）。

样例 #1

样例输入 #1

1315

样例输出 #1

2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)

提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 2\times {10}^4$。

NOIP1998 普及组 第三题

题解

这题我怎么看都觉得是记忆化搜索或者动态规划的题，去看题解全是递归？反正对于这道题来说我写不出递归，所以干脆就写dp了。

这题dp思路很简单
$137=2^7+2^3+2^0$
其中$7$又可以表示成$7=2^2+2+2^0$

这里已经明摆着说我们可以通过动态规划来做这道题，正常思路就是记录由$1$到$137$的所有的解了，可能可以这么解，但我不是这么做的，蒟蒻脑子只能想到这，大佬们轻喷。这里我的做法其实是把所有的$2$的次方给记录下来，什么意思？

我们把$2^0、2^1、2^2、2^3...$求出来，然后复原数字即可！

状态转移方程为：
$dp[target]=2({\sum }_{i=0}^{len(bin(target))}dp[i]$ $if$ $bin(target)[i]==1)$

看着挺复杂的，其实不复杂，$2()$就是指翻倍，里面的公式指的就是指数对应的值，例如$2^6=64$，$6=2^2+2$，我们需要去找到$dp[2]$和$dp[1]$，最后复原$dp[6]=2(2(2)+2)$

上例就可以这么做，我们求出$dp$(一直求到$dp[7]$)：
$[2(0),2,2(2),2(2+2(0)),2(2(2)),2(2(2)+2(0)),2(2(2)+2),2(2(2)+2+2(0))]$

然后根据二进制为$1$的位置把结果加起来即可
即$137=dp[7]+dp[3]+dp[0]=2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)$

这是不是很简单，^ _ ^

上代码：

Num = int(input().strip())
BNum = bin(Num).replace('0b','')
dp = [str() for _ in range(len(BNum))]
dp[0] = "2(0)"
dp[1] = "2"
def calAns(Bj):
    ans = ""
    global dp
    Bj = Bj[::-1]
    for i in range(len(Bj)):
        if Bj[i] == "1":
            ans = f"{dp[i]}+{ans}" if ans != "" else f"{dp[i]}"
    return ans
for j in range(1, len(BNum)):
    if dp[j] == "":
        Bj = bin(j).replace('0b','')
        for i in range(len(Bj)):
            if Bj[i] == "1":
                dp[j] = f"2({calAns(Bj)})"
ans = calAns(BNum)
print(ans)

因为这道题数据不太行，
数据很小$(n<=20000)$由$14<lo{g}_{2}20000<15$
，我们$dp$其实可以不用求，而是直接写死它！哈哈哈，更简单了：

def Solution2():
    Num = int(input().strip())
    BNum = bin(Num).replace('0b', '')
    dp = ["2(0)", "2", "2(2)", "2(2+2(0))", "2(2(2))", "2(2(2)+2(0))", "2(2(2)+2)", "2(2(2)+2+2(0))", "2(2(2+2(0)))",
          "2(2(2+2(0))+2(0))", "2(2(2+2(0))+2)", "2(2(2+2(0))+2+2(0))", "2(2(2+2(0))+2(2))", "2(2(2+2(0))+2(2)+2(0))",
          "2(2(2+2(0))+2(2)+2)"]
    def calAns(Bj):
        ans = ""
        Bj = Bj[::-1]
        for i in range(len(Bj)):
            if Bj[i] == "1":
                ans = f"{dp[i]}+{ans}" if ans != "" else f"{dp[i]}"
        return ans
    print(calAns(BNum))
Solution2()