前言
上期讲了平衡二叉搜索树的插入，这一期我们来讲讲删除。同时，二叉搜索树的简介不会出现在本篇博客之中，如有需要可以查看上一篇博客《平衡二叉搜索树插入的实现》。
平衡二叉搜索树插入的实现-CSDN博客文章浏览阅读659次，点赞9次，收藏13次。因为二叉搜索树在插入的时候最坏的情况可能会变成一条单一链表，从而使查找或者插入的时候消耗大量的时间。所以为了解决这一情况诞生了平衡二叉搜索树，其作用是为了减少二叉搜索树的整体高度，从而使查找插入删除的效率提高。https://blog.csdn.net/2302_81342533/article/details/142610087
一、删除思路
首先，删除需要先找到需要删除的节点。通过关键值找到对应节点，小了向左，大了向右。找到节点就能够开始删除，相反没找到就删除失败。
在之前的二叉搜索树的里面有提到怎么删除一个节点，现在复习一下。
假如找到就开始删除，这里一共有4种情况，但是分为3种讨论：
（1）该节点没有子节点。
（2）该节点只有右子树。
（3）该节点只有左子树。
（4）该节点左右子树都存在。
其中第一种情况包括在第二种情况中实现代码。
如果只有一边子树有节点，那么就让父节点链接另一个子树。
如果左右节点都存在，就用右子树最左侧节点，或者左子树最右侧节点对节点进行替换值，然后该节点就变成了情况（2）（3）。
删除节点完成后就需要修改节点的记录值bf。这个时候也分为3种情况，如果节点的值为1或者-1表示节点的高度没有改变所以就可以不用继续向上查找节点。
图1-1 喊出节点后树的高度不变
如果删除完成后，节点的值变为0，子树就变矮了，那么就需要继续向上遍历节点。
图1-2 节点删除后树变矮
如果节点的值在修改之后等于2或者-2，就需要对二叉树进行旋转从而让它保持平衡。这一类就分为3种情况，而且旋转比插入的额时候复杂一点，同时这一部分也是重点内容。
1、左单旋
左单旋的发生在节点的值在修改之后等于2的时候，当有节点的右子树高于左子树或者等于左子树的时候都需要左单旋。
图1-3 需要左单旋的情况
以上两种情况再旋转之后的bf值夜不相同，如果是第一种情况，那么旋转后节点A、B的值都为0，树的高度仍然降低了，也就是说还需要继续向上修改父节点的记录值bf。如果是第二种情况，高度就和旋转前相同，就不需要继续向上搜索了。B节点的记录值变为-1，A的记录值变为1。
图1-4 左旋后高度降低的情况
图1-5 左旋之后高度不变的情况
2、右左双旋
右左双旋夜发生在节点的记录值为2的时候，右节点中记录值为-1的情况。这中情况和插入的时候一样。使树的高度降低，所有节点的记录值修改也和插入的时候修改值相同。
图1-6 需要右左双旋
甚至旋转的代码都能直接使用。
图1-7 右左双旋
3、右单旋
右单旋就是左单旋的翻版，规律和左单旋是一样的。需要都单旋的情况发生在父节点记录值变为-2，而左节点记录值为-1或者0的情况。
图2-1 需要右单旋的情况
同理，B的记录值如果是0旋转之后就不要要继续向上修改记录值bf，相反，则需要遍历。
图2-2 右单旋后高度变矮的情况
图2-3 右单旋后高度不变的情况
4、左右双旋
当父节点记录值为-2，左节点记录值为1的时候就需要进行左右双旋。左右双旋之中同样分为三种情况。
图2-4 需要左右双旋的情况
旋转之后的结果和插入的左右双旋一致。
图2-5 左右双旋
二、代码实现
代码实现的解释写法都在代码的注释当中，代码同时包含之前实现的插入函数：
#include <iostream>
#include <string>
#include <assert.h>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data = T())
: _pLeft(nullptr)
, _pRight(nullptr)
, _pParent(nullptr)
, _data(data)
, _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft;
AVLTreeNode<T>* _pRight;
AVLTreeNode<T>* _pParent;
T _data;
int _bf; // 节点的平衡因子
};
// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:
AVLTree()
: _pRoot(nullptr)
{}
// 在AVL树中插入值为data的节点
bool Insert(const T& data)
{
// 根节点为空直接插入并修改
if(nullptr == _pRoot)
{
_pRoot = new Node(data);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _pRoot;
// 找到对应的插入节点
while(cur)
{
parent = cur;
if(data < cur->_data)
{
cur = cur->_pLeft;
}
else if(data > cur->_data)
{
cur = cur->_pRight;
}
else
{
return false;
}
}
// 插入节点
cur = new Node(data);
if(data < parent->_data)
{
parent->_pLeft = cur;
cur->_pParent = parent;
}
else if(data > parent->_data)
{
parent->_pRight = cur;
cur->_pParent = parent;
}
else
{
assert(false);
return false;
}
// AVL树向上检查，修改平衡因子
while(parent)
{
// 修改平衡因子
if(parent->_pLeft == cur)
{
parent->_bf--;
}
else if(parent->_pRight == cur)
{
parent->_bf++;
}
else
{
// 节点存储的有问题
assert(false);
}
// 考虑是否旋转子树
// 1. 为0不需要继续向上修改
if(0 == parent->_bf)
{
break;
}
// 2. 等于1或者-1需要继续向上修改平衡因子
else if(1 == parent->_bf || -1 == parent->_bf)
{
cur = parent;
parent = parent->_pParent;
}
// 3. 因子等于2或者-2就说明需要旋转
else if(-2 == parent->_bf || 2 == parent->_bf)
{
// 继续分为4种情况
// 3.1. 左子树的左子树超高
if(-2 == parent->_bf && -1 == cur->_bf)
{
RotateR(parent);
}
// 3.2. 右子树的右子树超高
else if(2 == parent->_bf && 1 == cur->_bf)
{
RotateL(parent);
}
// 3.3. 左子树的右子树超高
else if(-2 == parent->_bf && 1 == cur->_bf)
{
RotateLR(parent);
}
// 3.4. 右子树的左子树超高
else if(2 == parent->_bf && -1 == cur->_bf)
{
RotateRL(parent);
}
break;
}
}
return true;
}
bool Erase(const T& data)
{
if(_pRoot == nullptr)
{
return false;
}
// 双节点遍历链表
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _pRoot;
while(cur)
{
if(data > cur->_data)
{
cur = cur->_pRight;
}
else if(data < cur->_data)
{
cur = cur->_pLeft;
}
else
{
break;
}
}
// 未查找到节点，删除失败
if(cur == nullptr)
{
return false;
}
// 找到节点，能够删除
pair<Node*, Node*> tmp = _Erasecur(cur);
parent = tmp.first;
cur = tmp.second;
if(cur)
{
cur->_pParent = parent;
}
// 节点删除成功后，需要向上调整_bf值
while(parent)
{
// 1. 节点删除后需要继续向上查改
if(parent->_bf == 0)
{
cur = parent;
parent = parent->_pParent;
// 没有父节点退出
if(nullptr == parent)
{
break;
}
// 增减bf
if(parent->_pLeft == cur)
{
parent->_bf++;
}
else if(parent->_pRight == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
assert(false);
}
}
// 2. 节点的值为1或者-1的时候表示高度不变
else if(1 == parent->_bf || -1 == parent->_bf)
{
break;
}
// 3. 节点的值为2或者-2就需要旋转，并且可能需要继续向上查找
else if(2 == parent->_bf || -2 == parent->_bf)
{
Node* other = nullptr;
if(parent->_pLeft == cur)
{
other = parent->_pRight;
}
else if(parent->_pRight == cur)
{
other = parent->_pLeft;
}
else
{
assert(false);
}
if(2 == parent->_bf)
{
if(0 == other->_bf)
{
RotateL(parent);
parent->_bf = 1;
other->_bf = -1;
parent = other;
}
else if(1 == other->_bf)
{
RotateL(parent);
}
else if(-1 == other->_bf)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
}
else if(-2 == parent->_bf)
{
if(0 == other->_bf)
{
RotateR(parent);
parent->_bf = -1;
other->_bf = 1;
parent = other;
}
else if(-1 == other->_bf)
{
RotateR(parent);
}
else if(1 == other->_bf)
{
RotateLR(parent);
}
else
{
assert(false);
}
}
}
}
return true;
}
// AVL树的验证
bool IsAVLTree()
{
return _IsAVLTree(_pRoot).second;
}
private:
// 删除对应节点，返回父节点
pair<Node*, Node*> _Erasecur(Node* cur)
{
Node* parent = cur->_pParent;
// 1. 左子树为空
if(nullptr == cur->_pLeft)
{
if(cur == _pRoot)
{
_pRoot = cur->_pRight;
delete cur;
return make_pair(parent, _pRoot);
}
else if(parent->_pLeft == cur)
{
parent->_pLeft = cur->_pRight;
parent->_bf++;
delete cur;
return make_pair(parent, parent->_pLeft);
}
else if(parent->_pRight == cur)
{
parent->_pRight = cur->_pRight;
parent->_bf--;
delete cur;
return make_pair(parent, parent->_pRight);
}
else
{
assert(false);
}
}
// 2. 右子树为空
else if(nullptr == cur->_pRight)
{
if(cur == _pRoot)
{
_pRoot = cur->_pLeft;
delete cur;
return make_pair(parent, _pRoot);
}
else if(parent->_pLeft == cur)
{
parent->_pLeft = cur->_pLeft;
parent->_bf++;
delete cur;
return make_pair(parent, parent->_pLeft);
}
else if(parent->_pRight == cur)
{
parent->_pRight = cur->_pLeft;
parent->_bf--;
delete cur;
return make_pair(parent, parent->_pRight);
}
else
{
assert(false);
}
}
// 左右子树均不为空
else
{
// 找到右子树最左节点
Node* Rsonmin = cur->_pRight;
while(Rsonmin->_pLeft)
{
Rsonmin = Rsonmin->_pLeft;
}
cur->_data = Rsonmin->_data;
return _Erasecur(Rsonmin);
}
// 防出错
return make_pair(nullptr, nullptr);
}
// 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树
pair<int, bool> _IsAVLTree(Node* pRoot)
{
if(pRoot == nullptr)
{
return make_pair(0, true);
}
pair<int, bool> lson = _IsAVLTree(pRoot->_pLeft);
cout << pRoot->_data << " ";
pair<int, bool> rson = _IsAVLTree(pRoot->_pRight);
int hight = max(rson.first, lson.first) + 1;
bool Is = rson.second && lson.second && abs(rson.first - lson.first) <= 1;
return make_pair(hight, Is);
}
// size_t _Height(Node* pRoot)
// {
// if(nullptr == pRoot)
// {
// return 0;
// }
// else{
// return max<size_t>(_Height(pRoot->_pLeft), _Height(pRoot->_pRight)) + 1;
// }
// }
// 右单旋
void RotateR(Node* pParent)
{
Node* SubL = pParent->_pLeft;
Node* SubLR = SubL->_pRight;
Node* parent = pParent->_pParent;
pParent->_pLeft = SubLR;
pParent->_pParent = SubL;
if(SubLR)
SubLR->_pParent = pParent;
SubL->_pRight = pParent;
SubL->_pParent = parent;
if(pParent == _pRoot)
{
_pRoot = SubL;
}
else
{
if(parent->_pLeft == pParent)
{
parent->_pLeft = SubL;
}
else if(parent->_pRight == pParent)
{
parent->_pRight = SubL;
}
else
{
assert(false);
}
}
pParent->_bf = SubL->_bf = 0;
}
// 左单旋
void RotateL(Node* pParent)
{
Node* SubR = pParent->_pRight;
Node* SubRL = SubR->_pLeft;
Node* parent = pParent->_pParent;
pParent->_pRight= SubRL;
pParent->_pParent = SubR;
if(SubRL)
SubRL->_pParent = pParent;
SubR->_pLeft = pParent;
SubR->_pParent = parent;
if(pParent == _pRoot)
{
_pRoot = SubR;
}
else
{
if(parent->_pLeft == pParent)
{
parent->_pLeft = SubR;
}
else if(parent->_pRight == pParent)
{
parent->_pRight = SubR;
}
else
{
assert(false);
}
}
pParent->_bf = SubR->_bf = 0;
}
// 右左双旋
void RotateRL(Node* pParent)
{
Node* SubR = pParent->_pRight;
Node* SubRL = SubR->_pLeft;
int bf = SubRL->_bf;
RotateR(SubR);
RotateL(pParent);
if(0 == bf)
{
SubR->_bf = SubRL->_bf = pParent->_bf = 0;
}
else if(-1 == bf)
{
SubRL->_bf = pParent->_bf = 0;
SubR->_bf = 1;
}
else if(1 == bf)
{
SubRL->_bf = SubR->_bf = 0;
pParent->_bf = -1;
}
else
{
assert(false);
}
}
// 左右双旋
void RotateLR(Node* pParent)
{
Node* SubL = pParent->_pLeft;
Node* SubLR = SubL->_pRight;
int bf = SubLR->_bf;
RotateL(SubL);
RotateR(pParent);
if(0 == bf)
{
SubL->_bf = SubLR->_bf = pParent->_bf = 0;
}
else if(1 == bf)
{
SubLR->_bf = pParent->_bf = 0;
SubL->_bf = -1;
}
else if(-1 == bf)
{
SubLR->_bf = SubL->_bf = 0;
pParent->_bf = 11;
}
else
{
assert(false);
}
}
private:
Node* _pRoot;
};三、代码测试
测试代码如下：
#include "AVLtree.hpp"
int main()
{
AVLTree<int> avltree;
for(int i = 0; i < 100; ++i)
{
avltree.Insert(i);
}
for(int i = 0; i < 10; ++i)
{
avltree.Erase(i);
}
if(avltree.IsAVLTree())
{
cout << "avltree是二叉搜索树" << endl;
}
else
{
cout << "avltree不是二叉搜索树" << endl;
}
return 0;
}
作者结语
阿巴阿巴。非常绕的代码，是我旋转。删除思路之中左单旋和右单旋、左右双旋和右左双旋思路的重复度很高，只用看一边的就行。这里多讲了一遍就是想写的更清楚，减少思考。
总之干货还是有点的，下一篇博客应该就进化成红黑树了。都是树，也就难一点点。
