堆是一种树形结构,树的根是堆顶,堆顶始终保持为所有元素的最优值。

有最大堆和最小堆,最大堆的根节点是最大值,最小堆的根节点是最小值。

本节都以最小堆为例进行讲解。

堆一般用二叉树实现,称为二叉堆。

二叉堆的典型应用有堆排序和优先队列。

二叉堆的概念

二叉堆是一棵完全二叉树。

用数组实现的二叉树堆,树中的每个节点与数组中存放的元素对应。

树的每层,除了最后一层可能不满,其他都是满的。

如图1.10所示,用数组实现一棵二叉树堆。

二叉堆中的每个节点,都是以它为父节点的子树的最小值。

用数组A[]存储完全二叉树,节点数量为n,A[1]为根节点,有以下性质:
(1) $i>1$ 的节点,其父节点位于 $i/2$
(2)如果 $2i>n$ ,那么节点i没有孩子;如果 $2i+1>n$ ,那么节点i没有右孩子;
(3)如果节点i有孩子,那么它的左孩子是2i,右孩子是 $2i+1$ 。

堆的操作有进堆和出堆:
(1)进堆:每次把元素放进堆,都调整堆的形状,使根节点保持最小。
(2)出堆:每次取出的堆顶,就是整个堆的最小值;同时调整堆,使新的堆顶最小。
二叉树只有 $O(lo{g}_{2}n)$ 层,进堆和出堆逐层调整,计算复杂度都为 $O(lo{g}_{2}n)$ 。

二叉堆的操作

堆的操作有两种 :上浮和下沉。

上浮

某个节点的优先级上升,或者在堆底加人一个新元素(建堆,把新元素加入堆),此时需要从下至上恢复堆的顺序。

图1.11演示了上浮的过程。

下沉

某个节点的优先级下降,或者将根节点替换为一个较小的新元素(弹出堆顶,用其他元素替换它),此时需要从上至下恢复堆的顺序。
图1.12演示了下沉的过程。


堆经常用于实现优先队列,上浮对应优先队列的插入操作push(),下沉对应优先队列的删除队头操作pop()。

二叉堆的手写代码

例1.8（洛谷P3378）

下面给出代码。
上浮用push()函数实现,完成插入新元素的功能,对应优先队列的入队;
下沉用pop()函数实现,完成删除堆头的功能,对应优先队列的删除队头。

#include <bits/stdc+t.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5; 
int heap[N],1en=0; //1en记录当前二叉树的长度


void push(int x) {
    heap[++len]=x;
    int i=len;
    while (i>1 && heap[i]<heap[i / 2]) {
        swap(heap[i], heap[i /2]);
    }
    i=i/ 2;
}

void pop() {
    heap[1]= heap[len--];
    int i=1;
    while(2* i<=len) {
        int son =2*i;
        if (son <len && heap[ son +1]< heap[ son]) {
            son++;
        }
        if (heap[ son] < heap[i]) {
            swap(heap[ son], heap[ i]);
            i=son;
        } else break;
    }
}

int main() {
    int n;
    scanf ("%d", &n);
    while(n--) {
        int op;
        scanf("%d", &op);
        if (op==1) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            push(x);
        } else if (op==2) {
            printf("%d\n", heap[1]);
        } else {
            pop();
        }
    }
    return 0;
}

堆和priority_queue

using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        int op;
        scanf("%d", &op);
        if (op == 1) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            q.push(x);
        } else if (op == 2) {
            printf("%d\n", q.top());
        } else {
            q.pop();
        }
    }
    return 0;
}