最大正方形

题目描述

在一个 $n\times m$ 的只包含 $0$ 和 $1$ 的矩阵里找出一个不包含 $0$ 的最大正方形，输出边长。

输入格式

输入文件第一行为两个整数 $n,m(1\le n,m\le 100)$，接下来 $n$ 行，每行 $m$ 个数字，用空格隔开，$0$ 或 $1$。

输出格式

一个整数，最大正方形的边长。

样例 #1

样例输入 #1

4 4
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 1 0
1 1 0 1

样例输出 #1

2

题解

这道题AcWing、洛谷和leetCode都有，只是输入还有输出的些微区别，这里只提供洛谷的Python代码，思路是一样的。

这道题其实不难看出来可以用动态规划做，但是我做这道题的时候是有人要求我先用前缀和做一遍了，所以我这里提供两种思路

1、前缀和

这道题前缀和做法其实很简单，就是看我们想要通过求的正方形的前缀和来求该正方形的面积，如果求出来的面积与正方形边长平方相等，那么这个边长的正方形就满足要求

if 通过前缀和求的面积 == 正方形边长 ** 2：
	return True

怎么通过前缀和求矩形面积呢？我们可以通过下面公式来计算：
设 $i_2,j_2$ 为矩形右下角， $i_1,j_1=i_2-lenSquare+1,j_2-lenSquare+1$ 为矩形左上角，那么通过前缀和求矩形面积公式为：
$Size(Square)=Prefix[i_2][j_2]-Prefix[i_1-1][j_2]-Prefix[i_2][j_1-1]+Prefix[i_1-1][j_1-1]$

下面这张图为上图的前缀和矩阵：

那么穷举求出每种正方形边长的情况，我们就可以得到可能的正方形边长

欸，别急，直接穷举正方形边长还是慢了，正方形边长是从小到大穷举的，我们可以使用二分来加速对边长的举证：

if mid正方边长满足要求:
	我们去找是否存在更大的边长满足要求：left = mid + 1
else:
	mid长度都不符合要求的，直接去找更小的边长了： right = mid - 1

最后得出Python代码(时间复杂度为$O(N^{2}lo{g}_{2}N)$)：

def judge(lenEdge, Prefix):
    global N, M
    for i in range(lenEdge, N+1):
        for j in range(lenEdge, M+1):
            if Prefix[i][j] - Prefix[i-lenEdge][j] - Prefix[i][j-lenEdge] + Prefix[i-lenEdge][j-lenEdge] == lenEdge**2:
                return True
    else:
        return False


N, M = map(int, input().strip().split())
A = [[0 for _ in range(M+1)]]
for i in range(1, N+1):
    tmp = [0]
    tmp.extend(map(int, input().strip().split()))
    A.append(tmp)
Prefix = [[0 for _ in range(M+1)] for _ in range(N+1)]
for i in range(1, N+1):
    for j in range(1, M+1):
        Prefix[i][j] = Prefix[i-1][j] + Prefix[i][j-1] - Prefix[i-1][j-1] + A[i][j]
left, right = 0, min(N, M)
ans = 0
while left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    if judge(mid, Prefix):
        ans = max(ans, mid)
        left = mid + 1
    else:
        right = mid - 1
print(ans)

2、动态规划法

动态规划法的想法更容易想到，这里用图来说明一下：

定义$i,j$为正方形的左下角坐标，且$dp[i][j]$存的是该正方形的边长
$(4,4)$代表的正方形的边长可以从红色、蓝色、绿色，（$(3,3),(3,4),(4,3)$）三种颜色的正方形来得出，
可以看出来，黑色框出正方形边长为1+1 = 2，通过多画图推导，得出下面的公式：
$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1$

时间复杂度为$O(N^2)$

N, M = map(int, input().strip().split())
A = [[0 for _ in range(M)]] + [[0] + list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(N)]
dp = [[0 for _ in range(M+1)] for _ in range(N+1)]
ans = 0
for i in range(1, N+1):
    for j in range(1, M+1):
        if A[i][j] == 1:
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
            ans = max(ans, dp[i][j])
print(ans)