树和二叉树知识点大全及相关题目练习【数据结构】

news2024/12/24 11:27:46

树和二叉树

要注意树和二叉树是两个完全不同的结构、概念，它们之间不存在包含之类的关系
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树的定义

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
显然，树的定义是一个递归的定义

树的基本术语

根：即根结点(没有前驱)
叶子：即终端结点(没有后继)
森林：指m棵不相交的树的集合(例如删除A后的子树个数)
有序树：结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一）
无序树：结点各子树可互换位置
双亲：即上层的那个结点(直接前驱)
孩子：即下层结点的子树的根(直接后继)
兄弟：同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）
堂兄弟：即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲）
祖先：即从根到该结点所经分支的所有结点
子孙：即该结点下层子树中的任一结点
结点：即树的数据元素
结点的度：结点挂接的子树数
结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）
终端结点：即度为0的结点，即叶子
分支结点：即度不为0的结点（也称为内部结点）
树的度：所有结点度中的最大值
树的深度(或高度)：指所有结点中最大的层数

二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左子树和右子树，且T1和T2本身又都是二叉树。
所有树都可以转为唯一对应的二叉树，不失一般性，任何树都可以与二叉树相互转换。
二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念

二叉树的特点

1、每个结点最多有两孩子（二叉树中不存在度大于2的结点）
2、子树有左右之分，其次序不能颠倒
3、二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树
二叉树的五种基本形态：
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（虽然二叉树与树概念不同，但有关树的基本术语对二叉树都适用）

二叉树的性质

性质一
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第i层上至少有1个结点
性质二

深度为k时至少有k个结点

性质三
以n(0)表示度为0的结点的个数，以n（1）表示度为1的结点的个数，以n（2）表示度为2的结点个数
则n（0）=n（2）+1
推导：
设一棵二叉树总结点个数为n,则从下往上看，每一个结点都有一条边和它的双亲结点相连（有且只有一条），头结点除外，因为他没有双亲结点，则这棵二叉树总共有n-1条边
又因为度为2的结点n（2）会生出两条边，度为1的结点n（1）会生出一条边，度为0的结点没有边，因此n-1=2* n（2）+1* n（1）
又因为总结点个数n=度为二的结点个数n（2）+度为一的结点个数n（1）+度为零的结点个数n（0）
n=n（2）+n（1）+n（0）
n-1=2 * n（2）+1 * n（1）
合并整理得n（0）=n（2）+1
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