两个同构（isomorphic）的良序集（Well-Ordered Set），拥有同样的序型（Order-Type），那么序数（Ordinal）就是指良序集的序型（Order-Type）。
集合（Set）传递性（Transitivity）: ∀a∈S. (a ⊂ S)
当一个集合S是传递的，而且（S，∈）是良序的，那么该集合S称为一个序数。所有序数组成的序数宇宙，称为 Ord，（Ordinals 的简称）。
对于序数而言（Ordinals），a < b 等价于 a∈ b 。
直观感受（Intuition）
这里，需要理解序数中要求的传递性（Transitivity），即 ∀a∈S. (a ⊂ S)，对于序数中的任一元素 a，该元素a同时是S的子集。
通过形态分析法，令集合S = {..., {e}, ... }， a= {e}， 即 a ∈ S，如果，S 是序数的话，根据序数传递性，有 a ⊂ S，那么，集合S形态为 { ..., e, ..., {e}, ... }。
此时，有 e ∈ S，那么，e ⊂ S，则，e 含有的元素，都被集合 S 所包含，如此往下，
即 S = { ..., e ∪ {e}, ... }。
直至，存在一个元素x，其不再包含任何元素，即 x = ∅，即
S = { ..., ∅∪ { ... {∅∪ { ∅∪ {∅} } } ... }, ... }
那么，对于序数S里的每一元素，上述的形态分析法也适用，这就说明了，序数S中的每个元素，最终的落脚点是空集∅，那么∅必然是序数S中的最基础的元素。以及，序数中其它元素都通过对空集的重重包含关系来构建。即
S = { ∅∪ { ... {∅∪ { ∅∪ {∅} } } ... } }
上述的论证只是一种直观的感受，下面通过严格的论证，以证明序数具备的属性（Properties）。
序数例子（Example）
通过上述定义，可证明下图中的序数符合序数的要求。
即，n = { 0, ..., n - 1 } = (n - 1) ∪ {n - 1} 。
也就是，每个序数代表一个满足序数要求的集合，即传递性与从属关系（∈）的良序性。从上述例子可以看出，所有序数组成的序数宇宙，为什么要称为序数宇宙，而非序数集合。也是就，当N趋向无穷大（Infinity）时，Ord = {0, 1, 2, ... }，那么就有 Ord ∈ Ord，这个是不被允许的，会导致罗素悖论，因此，Ord 需要跟实际的序数0, 1, 2, ...，存在不同的层次中，因此，Ord 被称为序数宇宙，而非序数集合。
下面，证明几个有关序数的引理（Lemma）:
一、 0 = ∅ 是序数。
作为序数有两条件，即序数条件：
1. 序数的传递性（Transitivity），即 ∀a∈S. (a ⊂ S)。
2. 从属关系（∈）上的良序性（Well-Orderedness）。
另，良序性也包括四个条件，其中，前二为偏序的要求，前三为线序的要求，
2.1. 非自反性（non-reflexivity）：∀s∈S.( s !∈ s )
2.2. 良序的传递性（transitivity）：∀p,q,r∈S.(p∈q ∧ q ∈ r → p ∈ r)
2.3. 可比性（Comparability）：∀p,q∈S.(p ∈ q ∨ p = q ∨ q ∈ p)
2.4. 任意子集都具备最小元素：∀s∈P(S).∃a∈s.∀x∈s.(a ∈ x ∨ a = x)
那么，因为空集 ∅不包含元素，因此，上述5个条件自然成立（Trivial），由此，0 = ∅ 是序数。
二、如果 a 是序数，且 b ∈ a，那么 b 也是序数。
即，isOrdinal(a) ∧ b ∈ a → isOrdinal(b)
证：
因，isOrdinal(a) ⇒ ∀x∈a. (x ⊂ a)，有 b ∈ a ⇒ b ⊂ a。
又因，isOrdinal(a) ⇒ isWellOrdered(a)，且，b ⊂ a，因此，isWellOrdered(b)，即，因为b ⊂ a，集合a中元素的良序关系（Well-Ordered）得以保留（Preserved）。
还要证，∀x ∈ b. (x ⊂ b)，即 ∀x ∈ b. (∀ c ∈ x. (c ∈ b) )
因， b ⊂ a，有，x ∈ a，那么，x ⊂ a；
又因，c ∈ x，有，c ∈ a；
即，c ∈ a，x ∈ a，b ∈ a，又因序数a具备良序的传递性（transitivity），
即，∀c,x,b∈a.(c ∈ x ∧ x ∈ b → c ∈ b)
由此，可证，∀x ∈ b. (∀ c ∈ x. (c ∈ b) )。
那么，b 既具备良序性及传递性，b 是序数，
即，isOrdinal(a) ∧ b ∈ a → isOrdinal(b)。
三、如果 a, b 都是序数，且 a ≠ b，和，a ⊂ b，那么 a ∈ b。
即，isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) ∧ a ≠ b ∧ a ⊂ b → a ∈ b
证：
isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) ⇒ isWellOrdered(a) ∧ isWellOrdered(b)
根据，良序定理，即，
isWellOrdered(a) ∧ isWellOrdered(b) → a ≅ b ∨ a ≅ {x ∈ b: x < n} ∨ b ≅ {x ∈ a: x < n}
又，a ⊂ b，那么，a = {x ∈ b: x < n}
令，c 为差集(b - a)的最小元素，那么，a = {x ∈ b: x < c}
又，isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b)，有，a = {x ∈ b: x ∈ c} = c
又，c ∈ b，所以，a ∈ b，即，有
isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) ∧ a ≠ b ∧ a ⊂ b → a ∈ b 。
四、如果 a, b 都是序数，那么 a ⊂ b 或 b ⊂ a 。
即，isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) → a ⊂ b ∨ b ⊂ a
证：
isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) ⇒ isWellOrdered(a) ∧ isWellOrdered(b)
根据，良序定理，即，
isWellOrdered(a) ∧ isWellOrdered(b) → a ≅ b ∨ a ≅ {x ∈ b: x < n} ∨ b ≅ {x ∈ a: x < n}
那么，isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) → a = b ∨ a = {x ∈ b: x ∈ n} ∨ b = {x ∈ a: x ∈ n}，其中，n 为 a 与 b 的差集。
这里，使用了 = 替代 ≅，是因为 序数中定义的关系为 从属关系（ ∈ ），即，序数与其元素的关系既为从属关系（ ∈ ），亦为子集关系（⊂），即当回退（Reduce）到最根本的元素时，就是空集 ∅。这也是根据序数的定义，通过其传递性，使得基于空集 ∅，构建出后续的序数，即约束了一个序数的元素必须是该序数的子集，也就是要求，一个序数必须包含前序数作为其元素。
那么，
当，a = b，有 a ⊂ b；
当，a = {x ∈ b: x ∈ n}，有 a ⊂ b；
当，b = {x ∈ a: x ∈ n}，有 b ⊂ a；
即，isOrdinal(a) ∧ isOrdinal(b) → a ⊂ b ∨ b ⊂ a 。
