一、算法概念

  因子分解机（Factorization Machines, FM）是一种基于矩阵分解的机器学习算法，主要解决高维稀疏数据下的特征交互和参数估计问题。FM 通过引入特征组合和隐向量的矩阵分解来提升模型表现，特别适合处理推荐系统等场景中的数据稀疏性和特征交互复杂性。

  FM 可以用于分类和回归任务，是线性模型的扩展，能够高效地捕捉特征之间的交互作用。FM 的核心是通过低维向量的内积表示特征交互，使得其参数数量随维度线性增长，从而降低计算复杂度。

  FM 的主要特点：
  $\bullet$有监督学习模型，适用于回归和分类任务。
  $\bullet$通过低维向量的内积表示特征交互，模型结构保持线性。
  $\bullet$常用训练方法：随机梯度下降（SGD）、交替最小二乘法（ALS）和马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）。
  FM 模型通过矩阵分解对特征交互建模，并且在处理稀疏数据时有显著优势，常用于推荐系统。

二、算法原理

（一） FM表达式

  为了使系统能够进行预测，它依赖于由用户事件记录生成的可用数据。这些数据是表示兴趣和意图的交易记录，例如：下载、购买、评分。
  对于一个电影评论系统来说，交易数据记录了用户 $u\in U$ 在某一时间 $t\in R$ 对电影（物品） $i\in I$ 给出的评分 r ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } r \in\{1, 2, 3, 4, 5 \} r∈{1,2,3,4,5} ，由此产生的数据集可以表示如下：

  用于预测的数据表示为一个矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ ，其中包含总共 $m$ 个观测值，每个观测值由一个实值特征向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 组成。来自上述数据集的特征向量可以表示为：

  其中， $n=|U|+|I|+|T|$ ，即 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 也可以表示为 $x\in {\mathbb{R}}^{|U|+|I|+|T|}$ ，其中训练数据集的表达式为 $D=\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),\dots ,(x^{(m)},y^{(m)})\}$ 。训练目标是估计一个函数 $\hat{y}(x):{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ ，当提供第 $i$ 行 $x_i\in {\mathbb{R}}^n$ 作为输入时，能够正确预测对应的目标值 $y_i\in \mathbb{R}$ 。
  FM模型的计算表达式如下所示：

   $<{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j>$ 是交叉特征的参数，可以由一组参数定义：
$$<{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j>={\hat{w}}_{i,j}=\sum _{f=1}^k{v}_{i,f}\times v_{j,f}$$
  当 $k$ 足够大时，对于任意对称正定的实矩阵 $\hat{W}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ ，均存在实矩阵 $V\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$ ，使得$\hat{W}=V{V}^{\top }$成立：
$$\hat{\mathbf{W}}=\left[\begin{array}{cccc}{\hat{w}}_{1,1}& {\hat{w}}_{1,2}& \cdots & {\hat{w}}_{1,n}\\ {\hat{w}}_{2,1}& {\hat{w}}_{2,2}& \cdots & {\hat{w}}_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\hat{w}}_{n,1}& {\hat{w}}_{n,2}& \cdots & {\hat{w}}_{n,n}\end{array}\right]={\mathbf{V}}^T\mathbf{V}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1^T\\ {\mathbf{v}}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{v}}_n^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_n\end{array}\right]$$
  其中，模型待求解的参数为：
$$w_0\in \mathbb{R},\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n,\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$$
  其中：
  $\bullet$ $w_0$ 表示全局偏差。
  $\bullet$ $w_i$ 用于捕捉第 $i$ 个特征和目标之间的关系。
  $\bullet$ ${\hat{w}}_{i,j}$ 用于捕捉 $(i,j)$ 二路交叉特征和目标之间的关系。
  $\bullet$ ${\mathbf{v}}_i$ 代表特征 $i$ 的表示向量，它是 $\mathbf{V}$ 的第 $i$ 列。

（二）时间复杂度

  根据FM模型计算表达式，可以得到模型的计算复杂度如下：
{ n + ( n − 1 ) } + { n ( n − 1 ) 2 [ k + ( k − 1 ) + 2 ] + n ( n − 1 ) 2 − 1 } + 2 = O ( k n 2 ) , \{n+( n-1 ) \}+\left\{\frac{n ( n-1 )} {2} [ k+( k-1 )+2 ]+\frac{n ( n-1 )} {2}-1 \right\}+2={ O} ( k n^{2} ), {n+(n−1)}+{2n(n−1)​[k+(k−1)+2]+2n(n−1)​−1}+2=O(kn2),
  通过对交叉项的分解和计算，可以降低时间复杂度为$O(kn)$，计算过程如下所示：

  对于交叉特征，它们的交叉矩阵是一个对称矩阵，这里通过对一个 3x3 对称矩阵的详细分析，展示如何通过减少自交互项和利用对称性来优化计算。最终的结果是简化方程，并且将计算复杂度从二次方降低为线性级别，使模型能够更加高效地处理稀疏数据场景。
  首先，使用一个 3x3 的对称矩阵，图中表达式为计算目标：
  对目标表达式进行展开，展开后对内积进行计算，左式表示 3x3 对称矩阵的一半（对称矩阵的上三角部分）

  右式表示需要从左式中减去的部分，右式为对称矩阵中自交互的部分，即对角线部分的计算。

  最终推导，得到：
$$\hat{y}(\mathbf{x})=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i\times x_i+\frac{1}{2}\sum _{f=1}^k\left({\left(\sum _{i=1}^n{v}_{i,f}\times x_i\right)}^2-\sum _{i=1}^n{v}_{i,f}^2\times x_i^2\right)$$
  其计算复杂度为$O(kn)$：$$k\{[n+(n-1)+1]+[3n+(n-1)]+1\}+(k-1)+1=\mathcal{O}(kn)$$

（三）回归和分类

  FM 模型可以用于求解分类问题，也可以用于求解回归问题。在回归任务中，FM 的输出$\hat{y}(\mathbf{x})$可以直接作为连续型预测变量。目标是优化回归损失函数，
  最小二乘误差（MSE）：最小化预测值与实际值之间的均方误差。损失函数表达式如下所示：
$$l(\hat{y}(x),y)=(\hat{y}(x)-y{)}^2$$
  对于二分类问题，使用的是Logit或Hinge损失函数：
$$l(\hat{y}(x),y)=-\ln \sigma (\hat{y}(x)y)$$
  其中，σ 是Sigmoid（逻辑函数），𝑦∈{−1,1}。在二分类任务中，模型输出的是类别的概率，Sigmoid函数将其转换为0到1之间的概率值，而损失函数则度量预测值与真实分类之间的偏差。FMs 容易出现过拟合问题，因此应用 L2 正则化来防止过拟合。正则化有助于减少模型的复杂性，防止模型在训练数据上过度拟合，从而提升模型在新数据上的泛化能力。
  模型训练好后,就可以利用 $\hat{y}(\mathbf{x})$ 的正负符号来预测 $\mathbf{x}$ 的分类了。

  最后，FM 模型方程的梯度可以表示如下：
$$\frac{\partial }{\partial \theta }\hat{y}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果}\theta \text{是}{w}_0\\ x_i,& \text{如果}\theta \text{是}{w}_i\\ x_i{\sum }_{j=1}^n{v}_j^f{x}_j-v_i^f{x}_i^2,& \text{如果}\theta \text{是}{v}_{i,f}\end{array}$$
  其中，
  $\bullet$ 当参数是 $w_0$ 时，梯度为常数1。
  $\bullet$ 当参数是 $w_i$ 时，梯度为 $x_i$ ，即特征 $i$ 的值。
  $\bullet$ 当参数是 $v_{i,f}$ 时，梯度更复杂，包含一个交互项 $x_i{\sum }_{j=1}^n{v}_j^f{x}_j$ 减去一个二次项 $v_i^f{x}_i^2$ 。这里
$v_j^f$ 是对应特征 $j$ 的因子向量的第 $f$ 个元素。
  求和项 ${\sum }_{j=1}^n{v}_j^f{x}_j$ 与 $i$ 无关，因此可以提前计算。这样，每个梯度都可以在常数时间 $O(1)$ 内计算出来，而所有参数的更新可以在 $O(kn)$ 或稀疏条件下的 $O(k{N}_z(x))$内完成，其中$k$是因子维度，$n$是特征数量，$N_z(x)$是非零特征的数量。

三、算法优缺点

（一）优点

  1、解决了特征稀疏的问题，能够在非常系数数据的情况下进行预估
  2、解决了特征组合的问题
  3、FM是一个通用模型，适用于大部分场景
  4、线性复杂度，训练速度快

（二）缺点

  虽然考虑了特征的交互，但是表达能力仍然有限，不及深度模型；通过矩阵结构来建模特征之间的二阶交互交互作用，假设所有特征的权重都可以通过隐式支持来串联，但实际上某些特征交互可能比其他特征交互更重要，这种统一的串联有时无法捕捉复杂的交互关系。

四、FM分类任务实现对比

  使用 PySpark 的 FMClassifier 进行分类任务

（一）数据加载和样本分区

1、Python代码

# 创建 Spark 会话
spark = SparkSession.builder \
    .appName("FMClassifierExample") \
    .getOrCreate()

# 加载 Iris 数据集
from sklearn.datasets import load_iris
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 将数据转换为 DataFrame
df = pd.DataFrame(X, columns=iris.feature_names)
df['label'] = y

# 将 pandas DataFrame 转换为 Spark DataFrame
spark_df = spark.createDataFrame(df)

# 将特征列组合成一个单独的特征列
assembler = VectorAssembler(inputCols=iris.feature_names, outputCol="features")
spark_df = assembler.transform(spark_df).select(col("label"), col("features"))

# 划分训练集和测试集
train_df, test_df = spark_df.randomSplit([0.8, 0.2], seed=42)

2、Sentosa_DSML社区版

  首先通过数据读入算子读取数据，中间可以接任意个数据处理算子（例，行处理，列处理等），

  然后，连接行处理中的样本分区算子对数据进行训练集和测试集的划分，比例为8：2，

  再接类型算子，设置Feature列和Label列。

（二）模型训练

1、Python代码

from pyspark.sql import SparkSession
from pyspark.ml.classification import FMClassifier

# 创建 FMClassifier 模型
fm = FMClassifier(
    featuresCol="features",
    labelCol="label",
    predictionCol="prediction",
    probabilityCol="probability",
    rawPredictionCol="rawPrediction",
    factorSize=8,
    fitIntercept=True,
    fitLinear=True,
    regParam=0.01,
    miniBatchFraction=1.0,
    initStd=0.01,
    maxIter=100,
    stepSize=0.01,
    tol=1e-06,
    solver="adamW",
    thresholds=[0.5],  # 设置分类阈值
    seed=42
)

# 训练模型
fm_model = fm.fit(train_df)

# 进行预测
predictions = fm_model.transform(test_df)

# 显示预测结果
predictions.select("features", "label", "prediction", "probability").show()

2、Sentosa_DSML社区版

  连接因子分解机分类算子，右侧设置模型参数等信息，点击应用后，右击算子并执行，得到因子分解机分类模型。如下图所示，

（三）模型评估和模型可视化

1、Python代码

from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score, confusion_matrix
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# 从 PySpark DataFrame 提取预测结果
predictions_df = predictions.select("label", "prediction").toPandas()
y_test_sklearn = predictions_df['label'].values
y_pred_sklearn = predictions_df['prediction'].values

# 评估模型
accuracy = accuracy_score(y_test_sklearn, y_pred_sklearn)
precision = precision_score(y_test_sklearn, y_pred_sklearn, average='weighted')
recall = recall_score(y_test_sklearn, y_pred_sklearn, average='weighted')
f1 = f1_score(y_test_sklearn, y_pred_sklearn, average='weighted')

# 打印评估结果
print(f"FM 模型的准确率: {accuracy:.2f}")
print(f"加权精度 (Weighted Precision): {precision:.2f}")
print(f"加权召回率 (Weighted Recall): {recall:.2f}")
print(f"F1 值 (Weighted F1 Score): {f1:.2f}")

# 计算混淆矩阵
cm = confusion_matrix(y_test_sklearn, y_pred_sklearn)

2、Sentosa_DSML社区版

  模型后可接任意个数据处理算子，比如图表分析算子或数据写出算子，形成算子流执行，也可接评估算子，对模型的分类结果进行评估。如下图所示：
  得到训练集和测试集的评估结果如下：


  右击模型，可以查看模型的模型信息，模型信息如下图所示：

五、FM回归任务实现对比

  利用python代码，结合 PySpark 和 pandas 处理数据，主要应用了 Spark 的 FMRegressor 进行回归分析。

（一）数据加载和样本分区

1、Python代码

# 读取 winequality 数据集
df = pd.read_csv("D:/sentosa_ML/Sentosa_DSML/mlServer/TestData/winequality.csv")
df = df.dropna()  # 处理缺失值

# 将 pandas DataFrame 转换为 Spark DataFrame
spark_df = spark.createDataFrame(df)

# 将特征列组合成一个单独的特征列
feature_columns = df.columns.tolist()
feature_columns.remove('quality')
assembler = VectorAssembler(inputCols=feature_columns, outputCol="features")
spark_df = assembler.transform(spark_df).select("features", "quality")

# 划分训练集和测试集
train_df, test_df = spark_df.randomSplit([0.8, 0.2], seed=42)

2、Sentosa_DSML社区版

  先读取需要数据集，

  然后连接样本分区算子对数据集进行训练集和测试集的划分，划分比例为8：2，

  再接类型算子设置Feature列和Label列（Label列需满足：能转换为Double类型或者就是Double类型）

（二）模型训练

1、Python代码

# 创建 FMRegressor 模型
fm_regressor = FMRegressor(
    featuresCol="features",
    labelCol="quality",
    predictionCol="prediction",
    factorSize=8,
    fitIntercept=True,
    fitLinear=True,
    regParam=0.01,
    miniBatchFraction=1.0,
    initStd=0.01,
    maxIter=100,
    stepSize=0.01,
    tol=1e-06,
    solver="adamW",
    seed=42
)

# 训练模型
fm_model = fm_regressor.fit(train_df)

# 对测试集进行预测
predictions = fm_model.transform(test_df)

2、Sentosa_DSML社区版

  连接因子分解机回归算子，

  右击算子，点击运行，得到因子分解机回归模型。如下图所示：

（三）模型评估和模型可视化

1、Python代码

# 评估模型
evaluator = RegressionEvaluator(
    predictionCol="prediction",
    labelCol="quality",
    metricName="r2"
)
r2 = evaluator.evaluate(predictions)
evaluator_mae = RegressionEvaluator(predictionCol="prediction", labelCol="quality", metricName="mae")
mae = evaluator_mae.evaluate(predictions)
evaluator_mse = RegressionEvaluator(predictionCol="prediction", labelCol="quality", metricName="mse")
mse = evaluator_mse.evaluate(predictions)
rmse = np.sqrt(mse)

# 打印评估结果
print(f"R²: {r2:.4f}")
print(f"MAE: {mae:.4f}")
print(f"MSE: {mse:.4f}")
print(f"RMSE: {rmse:.4f}")

# 将预测值转换为 Pandas DataFrame 以便绘图
predictions_pd = predictions.select("quality", "prediction").toPandas()
y_test = predictions_pd["quality"]
y_pred = predictions_pd["prediction"]

# 绘制实际值与预测值的对比图
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(y_test, y_pred, color="blue", alpha=0.6)
plt.plot([min(y_test), max(y_test)], [min(y_test), max(y_test)], 'r--')
plt.xlabel('Actual Quality')
plt.ylabel('Predicted Quality')
plt.title('Actual vs Predicted Wine Quality')
plt.show()

# 计算残差
residuals = y_test - y_pred

# 使用 Seaborn 绘制带核密度估计的残差直方图
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.histplot(residuals, kde=True, bins=20)
plt.title('Residuals Histogram with KDE')
plt.xlabel('Residuals')
plt.ylabel('Frequency')
plt.grid(True)
plt.show()

2、Sentosa_DSML社区版

  模型后接评估算子，对模型结果进行评估。算子流如下图所示：

  训练集和测试集的评估结果如下：


  右击模型，查看模型的模型信息：

六、总结

  相比传统代码方式，利用Sentosa_DSML社区版完成机器学习算法的流程更加高效和自动化，传统方式需要手动编写大量代码来处理数据清洗、特征工程、模型训练与评估，而在Sentosa_DSML社区版中，这些步骤可以通过可视化界面、预构建模块和自动化流程来简化，有效的降低了技术门槛，非专业开发者也能通过拖拽和配置的方式开发应用，减少了对专业开发人员的依赖。
  Sentosa_DSML社区版提供了易于配置的算子流，减少了编写和调试代码的时间，并提升了模型开发和部署的效率，由于应用的结构更清晰，维护和更新变得更加容易，且平台通常会提供版本控制和更新功能，使得应用的持续改进更为便捷。

  为了非商业用途的科研学者、研究人员及开发者提供学习、交流及实践机器学习技术，推出了一款轻量化且完全免费的Sentosa_DSML社区版。以轻量化一键安装、平台免费使用、视频教学和社区论坛服务为主要特点，能够与其他数据科学家和机器学习爱好者交流心得，分享经验和解决问题。文章最后附上官网链接，感兴趣工具的可以直接下载使用

https://sentosa.znv.com/