数据结构与算法笔记7：最小生成树-Prim和Kruskal算法

news2024/9/29 9:58:30

常用的最小生成树的算法主要有两种，一种是Prim算法，一种是Kruskal算法。题目链接：KamaCoder 53. 寻宝（第七期模拟笔试）
在这里插入图片描述

这里假设有V个节点，因为我们的节点的标号是1~V，这样我们直接使用标号作为索引，不用额外的+1或者-1操作。

1. Prim算法

Prim算法基本的思路是按点来遍历，适合点比较少边比较多的稠密图，步骤是：

初始化minDist(最小生成树到每个节点的最小值)，grid(图里的边权)，visited(是否加入最小生成树)，我们把minDist设置为长度V+1，把grid设置为长和宽分别为V+1和V+1，visited长度也是V+1。

minDist初始化，初始化均为一个很大的值，这里的节点的数量小于等于10000，设置为10001：

vector<int> minDist(V+1, 10001);

grid初始化，一开始我们设置为一个很大的值，表示任意的两个点u和v是不可达的，因为我们后面要计算节点到最小生成树的最小值，所以我们初始化为最大值，后面求最小值才是有效的：

vector<vector<int>> grid(V+1, vector<int>(V+1, 10001));

visited初始化，一开始所有的节点都是没有访问过的，所以我们初始化为0，表示没有访问过，后面访问过加入了最小生成树以后我们要把节点visited对应的节点的值设置为1

vector<int> visited(V+1, 0);

求离最小生成树最近的点cur，定义初始距离minVal = INT_MAX，然后遍历所有的节点 $j\in[1,V]$ ，如果 $minVa l < min D i s t [j]$ ，minVal赋值为minDist[j]，cur赋值为j，所有节点遍历结束以后，我们找到了离最小生成树最近的那个点，第一个找到的cur其实是1：

int minVal = INT_MAX;    
int cur = -1;
for (int j = 1; j <= V; ++j)
{
    if (!visited[j] && minDist[j] < minVal) // j不在最小生成树中并且j节点到最小生成树的距离比minVal更小
    {
        minVal = minDist[j];
        cur = j;
    }
}

把节点cur加入到最小生成树里，其实就是将visited[cur]标记为1

visited[cur] = 1;

更新cur加入最小生成树以后得minDist：遍历所有节点 $j\in[1,V]$ ，如果grid[cur][j] < minDist[j]，那么更新minDist[j]为grid[cur][j]：

for (int j = 1; j <= V; ++j)
{
    if (!visited[j] && grid[cur][j] < minDist[j])// j不在最小生成树中并且cur到j的距离比j到最小生成树上一次距离小
        minDist[j] = grid[cur][j];
}

因为一个最小生成树有V个节点我们需要添加V-1条边，那么我们就需要遍历V-1次（minDist更新V-1次，回想我们的更新minDist使用了grid[cur][j]，表示从cur到j，因为第一个顶点是没有父亲节点的，所以第一个顶点对应的minDist[1]是不会更新的，j不会为1，更新的minDist的索引是从2到V的），那我们就可以写出完整的代码了：

#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    int V, E;
    
    cin >> V >> E;

    vector<int> visited(V+1, 0);
    vector<int> minDist(V+1, 10001);
    
    vector<vector<int>> grid(V+1, vector<int>(V+1, 10001));
    for (int i = 0; i < E; ++i)
    {
        int x, y, v;
        cin >> x >> y >> v;
        grid[x][y] = v;
        grid[y][x] = v;
    }
    
    
    for (int i = 1; i < V; ++i)
    {
        int minVal = INT_MAX;    
        int cur = -1;
        for (int j = 1; j <= V; ++j)
        {
            if (!visited[j] && minDist[j] < minVal)
            {
                minVal = minDist[j];
                cur = j;
            }
        }
        
        visited[cur] = 1;
        
        for (int j = 1; j <= V; ++j)
        {
            if (!visited[j] && grid[cur][j] < minDist[j])
                minDist[j] = grid[cur][j];
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 2; i <= V; ++i)
        ans += minDist[i];
    cout << ans << endl;
}

Kruskal算法

Prim算法基本的思路是按边来遍历，适合边比较少点比较多的稀疏图，步骤是：

对所有的边权排序，小的边权排前面，大的排后面
遍历所有边权，如果边权的起点和终点不在同一集合（属于最小生成树和不属于最小生成树），那么连接这两个起点和终点到最小生成树里，记录最小生成树的边的答案，遍历完所有边记得到答案。

判断是不是在同一集合和链接两个点到同一个集合，我们使用并查集来做。

#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

class UnionSet
{
    vector<int> father;
    int pathLength = 0;
public:
    UnionSet(int n): father(n, 0)
    {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            father[i] = i;
    }
    int find(int u)
    {
         return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
    }
    void Union(int u, int v)
    {
        int uRoot = find(u);
        int vRoot = find(v);
        if (uRoot == vRoot)
            return;
        father[vRoot] = uRoot;
    }
    bool isSame(int u, int v)
    {
        int uRoot = find(u);
        int vRoot = find(v);
        return uRoot == vRoot;
    }
    void addPathLength(int val)
    {
        pathLength += val;
    }
    int GetPathLength()
    {
        return pathLength;
    }
    
};
struct Edge
{
    int start, end, val;
};
int main()
{
    int V, E;
    
    cin >> V >> E;


    vector<Edge> edges;
    for (int i = 0; i < E; ++i)
    {
        int x, y, v;
        cin >> x >> y >> v;
        edges.push_back({x, y, v});
    }
    sort(edges.begin(), edges.end(), [](Edge& e1, Edge& e2){return e1.val < e2.val;});
    UnionSet unionSet(V+1);
    for (int i = 0; i < edges.size(); ++i)
    {
        int x = edges[i].start;
        int y = edges[i].end;
        int val = edges[i].val;
        if (!unionSet.isSame(x, y))
        {
            unionSet.Union(x, y);
            unionSet.addPathLength(val);
        }
    }

    cout << unionSet.GetPathLength() << endl;
}