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分割数组的最大值
题目描述
注意点
- 0 <= nums[i] <= 10^6
- 1 <= nums.length <= 1000
- 1 <= k <= min(50, nums.length)
解答思路
- 首先需要理解题意，需要将这个数组分成 k 个非空的连续子数组，找到划分组合中子数组和的最大值最小的划分方式，因为任意一个组合和如果减小，则其相邻的某个组合和一定增大，所以为了满足题意，每个子数组和应该尽可能接近
- 参考题解可以使用动态规划解决本题，思路为：dp[i][j]表示区间[0, i]划分为j段时所有组合中最大值的最小值，对于任意dp[i][j]，首先要保证[0, i]可以划分为j段，所以i + 1 >= j。怎么推导出状态转移方程，也就是怎么计算出dp[i][j]：
- 如果将数组分为1段，那么[0, i]对应的dp[i][1]的值就等于[0, i]的前缀和
- 怎么根据分为1段推出分为2段的情况？对于dp[i][2]：[0, x]可以分成1段，[x + 1, i]可以分为1段。所以minVal = Math.max(dp[x][1], rangePrefix(x + 1, i))（d取分组后的最大值），又因为要找到每个组合最大值的最小值，所以可以不断移动x，找到对应的最小minVal，dp[i][2]= minVal
- 怎么根据分为2段推出分为3段的情况？对于dp[i][3]：[0, x]可以分成2段，[x + 1, i]可以分为1段。所以minVal = Math.max(dp[x][2], rangePrefix(x + 1, i))（dp[x][2]是[0, x]分成2段的最大值，rangePrefix(x + 1, i)是[x + 1, i]分成1段的最大值，取分组后的最大值），同样不断移动x，找到对应的最小minVal，dp[i][3]= minVal
- 同理可以推第4段…第k段的情况，因为先推出了j- 1段的情况，所以任意dp[x][j - 1]都已经计算出来了，所以可以轻松对比出dp[x][1]、rangePrefix(x + 1, i)以及minVal
代码
class Solution {
public int splitArray(int[] nums, int k) {
int res = Integer.MAX_VALUE;
int n = nums.length;
int sum = 0;
int[] prefixArr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
sum += nums[i];
prefixArr[i] = sum;
}
// dp[i][j]表示区间[0, i]划分为j段时所有组合中最大值的最小值
int[][] dp = new int[n][k + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);
}
// 分为1段前i个数的dp值就是前i个数的前缀和
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][1] = prefixArr[i];
}
// j表示分为j段
for (int j = 2; j <= k; j++) {
// i表示区间[0, i]
for (int i = j - 1; i < n; i++) {
int minVal = Integer.MAX_VALUE;
// x表示将区间[0, x]分为j - 1段，区间[x + 1, i]分为1段
for (int x = j - 2; x < i; x++) {
int maxVal = Math.max(dp[x][j - 1], prefixArr[i] - prefixArr[x]);
minVal = Math.min(minVal, maxVal);
}
dp[i][j] = minVal;
}
}
return dp[n - 1][k];
}
}
关键点
- 动态规划的思想以及推导状态转移方程的过程
