完全二叉树和堆排序

news2024/11/20 9:13:01

完全二叉树

完全二叉树满足以下两个条件：

所有层的节点都完全填满：除了最后一层外，每一层的节点数都是最大节点数，即除了最后一层，其他层的节点数都是满的。
最后一层的节点尽可能地向左排列：在满足第一个条件的前提下，最后一层的节点从左到右填充，没有空隙。

完全二叉树的性质包括：

高度：完全二叉树的高度通常用 h 表示，对于有 n 个节点的完全二叉树，其高度 h 满足 h=⌊log⁡2n⌋+1。
节点数：对于高度为 h 的完全二叉树，其节点总数 n 满足2^(h−1)≤n<2^h。
叶子节点：在高度为 h 的完全二叉树中，叶子节点的数量最多为 2^(h−1)，最少为 1（当 h = 1 时）。
数组表示：完全二叉树可以用数组来表示，其中第 i 个节点（假设根节点为 1）的左子节点为 2i，右子节点为 2i+1，父节点为 ⌊i/2⌋。
满二叉树：如果一个完全二叉树的所有层都完全填满，那么它就是一个满二叉树（Full Binary Tree）。
二叉堆：完全二叉树常用于实现二叉堆（Binary Heap），二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它满足堆的性质，即任意节点的值总是不大于（或不小于）其子节点的值。

二叉堆

二叉堆是一种特殊的二叉树，也是最常见的堆结构，它有两种类型：

最大堆（Max Heap）：在最大堆中，每个节点的值都 >= 其子节点的值。在最大堆的根节点存储着整个堆中的最大值。
最小堆（Min Heap）：在最小堆中，每个节点的值都 <= 于其子节点的值。在最小堆的根节点存储着整个堆中的最小值。

堆排序

堆排序（Heap Sort）是一种基于二叉堆数据结构的选择排序算法。它利用堆这种数据结构的特性来对数据进行排序，可以是最大堆或最小堆。

以下是堆排序代码，一开始是建立大根堆，来实现升序排序

堆的建立代码如下

 // 堆排序
    // 建立堆
    public static void BuiltMaxHeap(int arr[], int len){
        for(int i = len >> 1; i > 0; i--){ // 从最后一个有孩子节点的节点开始
            HeadAdjust(arr, i, len);
        }
    }

    // 调整堆
    // num：调整根节点索引值为num的堆；调整的子树的起始位置
    // len：整个堆中元素的个数；调整子树的终止位置
    public static void HeadAdjust(int arr[], int num, int len){
        for (int i = num << 1; i <= len; i *= 2){
            if (i + 1 <= len && arr[i + 1] > arr[i]){
                i++;
            } // 找到孩子节点中最大的节点的索引值i
            if (arr[num] < arr[i]) { // 这里是基于交换来实现小元素的下坠
                arr[0] = arr[i];
                arr[i] = arr[num];
                arr[num] = arr[0];
            } else {
                break;
            }
            num = i;
        }
    }

如果要基于元素移动并覆盖的方式来调整堆，那么这种调整方法如下

 public static void HeadAdjust(int arr[], int num, int len){
        arr[0] = arr[num];
        for (int i = num << 1; i <= len; i *= 2){
            if (i + 1 <= len && arr[i + 1] > arr[i]){
                i++;
            } // 找到孩子节点中最大的节点的索引值i
            if (arr[0] < arr[i]) {
                arr[num] = arr[i];
            } else {
                break;
            }
            num = i;
        }
        // 这里是基于移动覆盖元素来实现小元素的下坠
        arr[num] = arr[0]; // 移动覆盖元素方法一般都是在循环覆盖完元素后给指定位置赋值
    }

开始排序

public static void HeapSort(int arr[], int len) {
        BuiltMaxHeap(arr, len); // 建立一个堆
        for (int i = len; i > 1; i--) { // 之后不断将堆的第一个元素与最后的元素交换位置
            arr[0] = arr[1];
            arr[1] = arr[i];
            arr[i] = arr[0];
            HeadAdjust(arr, 1, i - 1); // 交换完位置后调整堆
        }
    }