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图论part05

并查集理论基础

并查集是一种数据结构，用于处理一些不交集的合并及查询问题。以下是并查集理论基础的重点内容：

背景和用途

• 并查集主要用于解决连通性问题，即判断两个元素是否在同一个集合里。
• 它包含两个基本功能：
  1. 合并操作：将两个元素添加到同一个集合中。
  2. 查找操作：判断两个元素是否在同一个集合中。

原理和操作

• 初始化：每个元素初始时自己的父节点是自身，表示每个元素自成一个集合。
• 查找（Find）：通过递归查找一个元素的根节点，可以使用路径压缩优化。
• 合并（Union）：将两个元素的根节点进行合并，通常将一个根节点指向另一个。

路径压缩

• 定义：在查找过程中，将查找到的非根节点直接连接到根节点，减少未来的查找深度。
• 效果：使得后续的查找操作更快。

按秩合并

• 定义：在合并两个集合时，较小的树合并到较大的树中，以保持树尽可能扁平。
• 目的：优化最终合并成的树的高度，减少查找操作的时间复杂度。

代码模板

• 提供了初始化、查找、合并和判断两个元素是否在同一个集合的函数。

int n = 1005; // n根据题目中节点数量而定，一般比节点数量大一点就好
vector<int> father = vector<int> (n, 0); // C++里的一种数组结构

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;
    }
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
    return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}

// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}

常见误区

• 在合并操作时，必须先查找到各自的根节点再进行合并，而不是直接将两个节点合并。

复杂度分析

• 空间复杂度：O(n)，需要存储每个节点的父节点信息。
• 时间复杂度：随着操作的增加，时间复杂度趋于O(1)。

总结

• 并查集是解决特定问题的强大工具，通过路径压缩和按秩合并可以提高其效率。
• 理解并查集的内部工作原理对于正确使用它至关重要。
• 通过模拟和实践，可以加深对并查集工作机制的理解。

解题步骤

1. 初始化并查集：使用init()函数初始化所有节点的父节点。
2. 处理每条边：对于图中的每条边，使用join(int u, int v)将它们加入到并查集中。
3. 判断连通性：使用isSame(int u, int v)来判断两个节点是否在同一个集合中。

为什么使用并查集

• 效率：并查集通过路径压缩和按秩合并优化，使得查找和合并操作非常高效。
• 简洁：并查集提供了一种简洁的方式来处理图的连通性问题。

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int n; // 节点数量
vector<int> father = vector<int> (101, 0); // 按照节点大小定义数组大小

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)  father[i] = i;
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
    return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}

// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}

int main() {
    int m, s, t, source, destination;
    cin >> n >> m;
    init();
    while (m--) {
        cin >> s >> t;
        join(s, t);
    }
    cin >> source >> destination;
    if (isSame(source, destination)) cout << 1 << endl;
    else cout << 0 << endl;
}

107. 寻找存在的路径

并查集是一种用来处理不交集（没有交集的集合）的合并和查询问题的数据结构。

1. 解题步骤

• 初始化：把图中的每个点看作是一个独立的岛屿（独立的集合）。
• 处理每条边：用并查集的技能把两个有连接的点放到同一个集合里。
• 判断连通性：用并查集来判断起始点和目标点是否在同一个集合里。

2. 并查集具体操作

• 初始化操作：每个点自成一派，自己认自己是老大。
• 查找操作：找出一个点的老大（根节点）是谁。
• 合并操作：把两个点的老大变成同一个人。
• 判断操作：判断两个点是不是在一个集合里，也就是他们的老大是不是一样。

3. C++代码实现

• 定义一个数组，数组的每个元素代表一个节点的父节点。
• 读入节点和边的信息，使用初始化函数让每个节点的父节点指向自己。
• 读入每条边的信息，用合并函数把两个端点的节点放到同一个集合。
• 读入起始点和目标点，用判断函数来输出他们是否连通的结果。

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int n; // 节点数量
vector<int> father = vector<int> (101, 0); // 按照节点大小定义数组大小

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)  father[i] = i;
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
    return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}

// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}

int main() {
    int m, s, t, source, destination;
    cin >> n >> m;
    init();
    while (m--) {
        cin >> s >> t;
        join(s, t);
    }
    cin >> source >> destination;
    if (isSame(source, destination)) cout << 1 << endl;
    else cout << 0 << endl;
}

总结

• 并查集是处理图中节点连通性问题的利器。
• 通过将图中的边加入到并查集，你可以快速判断任意两个节点是否连通。
• 路径压缩技巧可以大幅提升并查集的性能。