本节重点：

• 有向无环图（前置知识）
• ⭐️拓扑排序
• ⭐️关键路径

1.有向无环图（前置知识）

有向无环图：若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图

2. 拓扑排序

2.1 AOV网

AOV网（用顶点表示活动的网）
DAG图表示一个工程。顶点表示活动。有向边<V_i,v_j>表示活动v_i必须先于活动v_j进行

2.2 排序序列

如何排序？

首先明确每个顶点只出现一次
拓扑排序序列，就是找入度为0的结点输出，并把由它出去的边删除，直到AOV网空或当前网中不存在无前驱的顶点为止
逆拓扑排序序列，就是找到出度为0的结点输出，并把指向它的边删除，直到AOV网空或当前网中不存在无后继的顶点为止

可用另一种实现方式：DFS实现拓扑排序序列

3.关键路径

3.1 AOE网

在带权有向图中，以顶点表示事件，有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销(所需时间)，简称AOE网

AOE网的性质：
1️⃣事件发生后，活动才能开始
2️⃣活动都结束，事件才能发生，有些活动可以并行进行。

3.2 关键活动

关键活动：决定这个工程最快完成的活动，也是整个工程中最慢的活动。

求关键活动的几个重要参数：
事件记做v_k,活动记做a_i

• 事件v_k的最早发生时间v_e(k)
• 事件v_k的最迟发生时间v_l(k)
• 活动a_I的最早开始时间e(i)
• 活动a_I的最迟开始时间l(i)
• 活动时间差额d(i)

明确两点：
1️⃣关键活动的最早开始时间和最迟开始时间相等，字面意思上理解，它之所以关键，是因为它中间没有弹性时间。
2️⃣我们通过计算事件的时间，可以推出活动的时间，即求事件最早发生时间，推出活动最迟开始时间，求事件最迟发生时间，推出活动最早开始时间。

3.2.1 事件v_k的最早发生时间v_e(k)

寻找最慢的路径决定事件的最早发生时间
通过拓扑排序，我们可以得知事件发生的先后顺序
从起点出发，到下一个事件，可能有多个路径，计算耗时最长的活动+上一个事件所用的时间=下一个事件的最早发生时间。

3.2.2 活动a_I的最迟开始时间l(i)

活动的最迟开始时间，是由事件最早发生事件反推，比如v3事件最早开始于5分钟，指向它的活动由2个，一个需要2分钟，一个需要3分钟，那么活动的最迟开始时间就是5-2和5-3，活动最迟开始时间不能影响事件的发生时间

3.2.3 事件v_k的最迟发生时间v_l(k)

最迟发生时间是由终点反推回到起点
终点事件的最迟发生时间=终点事件的最早发生时间

因为终点肯定是关键活动，在关键路径上，所以终点事件的最迟发生时间=终点事件的最早发生时间

由终点的最迟发生时间，反推前一个事件的最迟发生时间。减去前置活动耗时最长的时间，就是前一个事件的最迟发生时间

3.2.4 活动a_I的最早开始时间e(i)

活动的最早开始时间，就是它起点事件的最迟开始时间

3.2.5 活动时间差额d(i)

活动最迟开始时间-活动最早开始时间，差值就是弹性的时间，如果它的弹性时间=0，他就是关键活动，关键活动组成的路径就是关键路径。

注意：
1️⃣可能存在多条关键路径，只提高一条关键路径上的活动并不能缩短整个工程的工期，只有加快包括所有关键路径上的关键活动才能缩短工期。

3.3 真题实战讲解(直接看就行)

解题思路：
拓扑排序决定了事件最早的发生的顺序
逆拓扑排序决定了事件最晚发生的顺序

起点和终点的事件最早发生时间和事件最晚发生时间相同。

做题逻辑顺序：
1.写出拓扑排序和逆拓扑排序
2.由拓扑排序写出事件的发生顺序，开始算事件最早发生时间。起点的最早发生时间是0，从这开始写。下一个事件的最早发生事件，看前面的事件+最长的活动时间(就是最晚)，到达下一个事件的时间就是算事件最早发生时间，以此类推。总结就是**，从前往后找最大**
3.从逆拓扑排序开始写，事件的最晚发生事件，由起点和终点的事件最晚发生时间相同，开写，看看前面最短的活动时间，前面事件的最早开始事件-最短的活动时间，总结就是从后往前找最小
4.活动最早的开始时间：就是活动弧尾指向事件的最早发生事件
5.活动最晚的开始时间：是活动弧头指向事件的最晚发生时间-活动时间

大总结，小口诀：

事件时间起手求，从前往后找最大，从后往前找最大
活动时间用箭头，最早弧尾，最晚弧头减活动。
注意：
终点事件的最晚发生时间就是关键路径长度
事件最早发生时间和最晚发生时间相同的事件就是关键事件
活动时间差值为0的活动就是关键路径，它的路径就是关键路径