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引言

  各位小伙伴们大家好，欢迎收看自动驾驶决策规划算法第二节，内容整理自 B站知名up主 忠厚老实的老王 的视频，作为博主的学习笔记，分享给大家共同学习。

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一、自动驾驶决策规划算法概述

  本篇博客所讲的内容是 参考线(Reference Line)，在讲参考线之前，先讲一下决策规划的总体流程。假设已经有了导航路径，决策规划流程如下：

• $Step1$ 定位 + 导航：生成参考线
• $Step2$ 障碍物投影：静态障物投影到以参考线为坐标轴的 Frenet 坐标系上
• $Step3$ 开辟凸空间：决策算法对障碍物做决策（往左绕、往右绕、忽略）开辟凸空间
• $Step4$ 搜索最优路径：规划算法在决策算法所开辟的凸空间内搜索出一条最优路径
• $Step5$ 后处理：在规划中轨迹中选点坐标转化成笛卡尔坐标系，再输出给控制去跟踪。

  比如在自然坐标系下有如下障碍物：

  在第三步中，如果决策算法选择了往左绕，就意味着决策算法开辟了上图紫色的凸空间；如果决策算法决定往右绕，开辟的是蓝色的凸空间，也就是最终规划轨迹要么在紫色的凸空间中搜索，要么在蓝色凸空间中搜索，到底在哪里搜索是决策算法所干的事情。

  决策算法开辟最优凸空间，在凸空间内搜索轨迹，把轨迹交给控制执行。

  有人可能会觉得“开辟”动词不是特别准确，这更像是一种选择，比如有很多凸空间决策算法是选择最优的凸空间，那为什么要叫开辟？
  其实当学完之后才发现开辟动词还是相对来说最恰当。

  在第四步中，比如决策算法已经决策出来了，在蓝色的凸空间上搜索，规划就是在蓝色的凸空间上搜索出一条最优路径。

  这就是整个决策规划的具体步骤，相对来说比较粗略，而且没有考虑动态障碍物。因为暂时先不管动态障碍，先把静态障碍物做出来，凡事都由简到难、由简单到复杂。

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二、参考线

  本篇博客就是讲怎么通过定位加导航的路径生成参考线。

2.1 参考线的作用

  首先要讲一下参考线是干什么的，参考线是一种解决方案：解决导航路径过长且不平滑的问题。

  比如如果导航计算出来的路径是非常长的路径，过长的路径不利于坐标转换，比如下图：

  在本系列博客中，数学基础部分第三节的坐标转换，核心步骤就是找匹配点，具体参见：

  【自动驾驶】决策规划算法 | 数学基础（三）直角坐标与自然坐标转换Ⅰ

  【自动驾驶】决策规划算法 | 数学基础（三）直角坐标与自然坐标转换Ⅱ

2.2 过长路径的缺点

(1) 匹配点难以确定

  路径越长，找匹配点就越麻烦，因为找匹配点需要遍历，路径越长点就越多，越多找匹配点就越慢。

• 如果是只是自车的坐标转换，那还好办，因为只需要做一次。
• 如果是障碍物也要做坐标转换，每个障碍物都要做投影，计算量就非常大。

(2) 障碍物投影不唯一

  比如在上图路径中的绿色障碍物，投影可能有两个，俩距离都相等，到底哪个才是它的投影？这就是个非常麻烦的问题。

(3) 导航路径不平滑

  导航路径一般为平滑曲线，上图中的蓝色点导数都不连续、不平滑。

  所以解决方案就是参考线，就是在全局路径中截取一小段较短的路径，进行平滑，平滑后的曲线即为参考线，将参考线作为障碍物投影的坐标轴线。

2.3 生成参考线的方法

  比如下图是不平滑的导航路径：

  先找到匹配点以及投影点。每个规划周期内，首先找投影点，以投影点为坐标原点，往后取 $30m$，往前取 $150m$，取这些范围内的点。

  图中橙色线就是 $150m$ ，弧长是 $150m$ ，后面取紫红色线 $30m$ ，就把范围内的点全部拿出来做平滑，上图中蓝色点为未平滑点，平滑后变成黑色点，平滑后的点的集合称为参考线。

2.4 参考线的优点

  参考线能解决上面所说的导航路径过长的问题，因为较短的参考线投影比较好找，而且短的话一般曲率也不会太大，投影就是唯一的，而且做过平滑，比全局路径更平滑，这就是参考线作用。

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三、参考线平滑算法

如何平滑参考线呢？

  参考线平滑算法不唯一，这里只讲其中一种平滑算法，认为点与点之间越接近直线就越平滑，越不接近直线就越不平滑。

  以三个点做向量，做如图所示的向量，$P_0，P_1，P_2，P_3$。$|\overrightarrow{P_1{P}_3}|$ 向量的长度就是衡量平滑与不平滑的标准。如果$|\overrightarrow{P_1{P}_3}|$ 越小，就证明越平滑，也就越接近直线。

  但参考线不是越平滑越好，比如下面黑色的三个点是原来全局路径的点，如果越平滑越好，可能会优化成像紫色的这样一条线。

  虽然平滑了，但几何形状和原来的路径点差距实在是太大，这样也不好。

3.1 平滑算法的代价函数

如何衡量和几何形状相关的标准？

  用图中三段绿色线衡量。记原来的路径点为 $P_{1r}，P_{2r}，P_{3r}$，优化后的点记为 $P_1、P_2、P_3$。衡量与几何相似度的标准就是，如果这三条绿线的长度 $|P_1{P}_{1r}|+|P_2{P}_{2r}|+|P_3{P}_{3r}|$ 加起来越少，就意味着越接近原路径几何。

  除了平滑性因素，还有道路几何因素，以及长度要尽可能均匀和紧凑的因素。

  比如这是三个原来的黑色点：

  希望优化点变成紫色线。但如果像绿色线过于分散也不好，所以长度要尽可能均匀、紧凑。

那怎么衡量呢？

  如果
$$|P_1{P}_2|=a|P_2{P}_3|=a$$  认为比较紧凑

  反之，如果
$$|P_1{P}_2|=a+b|P_2{P}_3|=a-b$$  认为比较分散

  不妨把两边的长度平方和算一下，前面紧凑的等于 $2a^2$，后面比较分散的是 $(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2a^2+2b^2$，这样就能看出来，用 $|P_1{P}_2{|}^2+|P_2{P}_3{|}^2$ 来衡量，即 $|P_1{P}_2{|}^2+|P_2{P}_3{|}^2$ 越小，意味着越均匀、越紧凑。

  综上就可以写出平滑算法的代价函数，比如下图：

  原来的点为 $P_{1r}，P_{2r}，P_{3r}$，优化后的点为 $P_1、P_2、P_3$。

  原来路径点坐标记为 $\left(x_{1r},y_{1r}\right)\text{、}\left(x_{2r},y_{2r}\right)\text{、}\left(x_{3r},y_{3r}\right)$

  优化后路径坐标记为 $\left(x_1,y_1\right)\text{、}\left(x_2,y_2\right)\text{、}\left(x_3,y_3\right)$

  其中，$x_{1r},x_{2r},x_{3r},y_{1r},y_{2r},y_{3r}$ 已知，$x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ 未知。

  代价函数为
J = w 1 { ∑ i = 1 3 ( x i − x i r ) 2 + ( y i − y i r ) 2 } + w 2 [ ( x 1 + x 3 − 2 x 2 ) 2 + ( y 1 + y 3 − 2 y 2 ) 2 ] + w 3 { ∑ i = 1 2 ( x i + 1 − x i ) 2 + ( y i + 1 − y i ) 2 } \begin{aligned} J&=w_1\{\sum_{i=1}^3{\left( x_i-x_{ir} \right) ^2}+\left( y_i-y_{ir} \right) ^2\}\\ &+w_2\left[ \left( x_1+x_3-2x_2 \right) ^2+\left( y_1+y_3-2y_2 \right) ^2 \right]\\ &+w_3\{\sum_{i=1}^2{\left( x_{i+1}-x_i \right) ^2}+\left( y_{i+1}-y_i \right) ^2\} \end{aligned} J​=w1​{i=1∑3​(xi​−xir​)2+(yi​−yir​)2}+w2​[(x1​+x3​−2x2​)2+(y1​+y3​−2y2​)2]+w3​{i=1∑2​(xi+1​−xi​)2+(yi+1​−yi​)2}​  包含三个代价，第一项为与原路径点相似代价，第二项为平滑代价，第三项为紧凑代价。$w_1、w_2、w_3$ 是相应的权重。

  希望代价函数越小越好，因为越小就与原路径点越相似、越平滑、越紧凑。

  我们的任务就是选取合适的 $\left(x_1,y_1\right)\text{、}\left(x_2,y_2\right)\text{、}\left(x_3,y_3\right)$，使得代价函数最小。

3.2 转化为二次规划问题

  这是典型的二次规划问题，二次规划问题的典型描述为：
$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x=\min \\ \text{s.t}Ax\le b\\ lb\le x\le ub\end{array}$$   接下来看一下上面的代价函数如何写成二次规划的形式。

(1) 平滑代价

  首先写一下平滑代价的表达式，平方和可以写成向量乘以向量的转置。
$$\begin{array}{rl}{J}_{smooth}=& {\left(x_1+x_3-2x_2\right)}^2+{\left(y_1+y_3-2y_2\right)}^2\\ =& \left(x_1+x_3-2x_2,y_1+y_3-2y_2\right){\left(x_1+x_3-2x_2,y_1+y_3-2y_2\right)}^T\end{array}$$  前面向量可以写成
$$\begin{array}{rl}{J}_{smooth}& =\left(x_1+x_3-2x_2,y_1+y_3-2y_2\right)\\ & =\left(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -2& 0\\ 0& -2\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$记
$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\end{array}\right)A_1=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$  则平滑代价函数为
$$J_{smooth}=(x_1+x_3-2x_2{)}^2+(y_1+y_3-2y_2{)}^2=x^T{A}_1^T{A}_{1}x$$  这只是 $3$ 个点的情况。

  如果是 $n$ 个点的情况，先把平滑代价函数写出来
$$J_{smooth}=\sum _{i=1}^{n-2}{\left(x_i+x_{i+2}-2x_{i+1}\right)}^2+{\left(y_i+y_{i+2}-2y_{i+1}\right)}^2$$  一共是 $(2n-4)$ 项。

  展开写成向量的形式：
$$\begin{gathered} J_{smooth}=(x_1+x_3-2x_2,y_1+y_3-2y_2,x_2+x_4-2x_3,y_2+y_4-2y_3,\dots ) \\ (x_1+x_3-2x_2,y_1+y_3-2y_2,x_2+x_4-2x_3,y_2+y_4-2y_3,\dots {)}^T \end{gathered}$$  写成矩阵的形式：
$$J_{smooth}=\left(x_1,y_1,\cdots \right)(\begin{array}{cccccccccc}1& 0& & & & & & & & \\ 0& 1& & & & & & & & \\ -2& 0& 1& 0& & & & & & \\ 0& -2& 0& 1& & & & & & \\ 1& 0& -2& 0& 1& & & & & \\ 0& 1& 0& -2& 0& ⋮& & & & \\ & & 1& 0& -2& 0& & & & \\ & & 0& 1& 0& -2& & & & \\ & & & & 1& 0& \ddots & & & \\ & & & & 0& 1& & \ddots & & \\ & & & & & & & & & \end{array})$$  大括号内的矩阵是将$A_1^T$按照对角线不断复制，每隔两行、每隔两列不断复制。其中，$\left(x_1,y_1,\cdots \right)$ 为 $1\times 2n$ 的矩阵，大括号矩阵为 $2n\times (2n-4)$ 的矩阵。

  将大括号矩阵记为 $A_1^T$，则平滑代价可以写成：
$$J_{smooth}=w_{\text{smooth\_cos}\text{t}}\cdot x^{\text{T}}{A}_1^{\text{T}}{A}_{1}x$$  因为 $A_1^T$ 是 $(2n,2n-4)$ 的矩阵，则 $A_1$ 就是 $(2n-4,2n)$ 的矩阵。

(2) 紧凑代价

紧凑代价直接写 $n$ 个点的情况，代价函数为：
$$J_{length}=\sum _{i=1}^{n-1}{\left(x_i-x_{i+1}\right)}^2+{\left(y_i-y_{i+1}\right)}^2$$改写成向量形式：
$$\begin{gathered} J_{length}=(x_1-x_2,y_1-y_2,x_2-x_3,y_2-y_3\dots ) \\ (x_1-x_2,y_1-y_2,x_2-x_3,y_2-y_3\dots {)}^T \end{gathered}$$写成矩阵的形式：
$$J_{length}=\left(x_1,y_1,\cdots \right)(\begin{array}{cccccccccc}1& 0& & & & & & & & \\ 0& 1& & & & & & & & \\ -1& 0& 1& 0& & & & & & \\ 0& -1& 0& 1& & & & & & \\ & & -1& 0& 1& & & & & \\ & & 0& -1& 0& ⋮& & & & \\ & & & & -1& 0& & & & \\ & & & & 0& -1& & & & \\ & & & & & & \ddots & & & \\ & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & & \end{array})$$  其中，$\left(x_1,y_1,\cdots \right)$ 为 $1\times 2n$ 的矩阵，大括号矩阵为 $2n\times (2n-2)$ 的矩阵。

  将大括号矩阵记为 $A_2^T$，则紧凑代价可以写成:
$$J_{length}=w_{\text{length\_cos}\text{t}}\cdot x^{\text{T}}{A}_2^{\text{T}}{A}_{2}x$$  因为 $A_2^T$ 是 $(2n,2n-2)$ 的矩阵，则 $A_2$ 就是 $(2n-2,2n)$ 的矩阵。

(3) 几何相似代价

代价函数为：
$$\begin{array}{rl}{J}_{ref}& =\sum _{i=1}^n{\left(x_i-x_{ir}\right)}^2+{\left(y_i-y_{ir}\right)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)+\sum _{i=1}^n\left(-2x_{ir}{x}_i-2y_{ir}{y}_i\right)+\sum _{i=1}^n\left(x_{ir}^2+y_{ir}^2\right)\end{array}$$  因为 $x_{ir},y_{ir}$ 是常数或已知量，所以 ${\sum }_{i=1}^n\left(x_{ir}^2+y_{ir}^2\right)$ 是常数，不受 $x_i,y_i$ 的影响，所以最后一项可以去掉，即
$$J_{ref}=\sum _{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)+\sum _{i=1}^n\left(-2x_{ir}{x}_i-2y_{ir}{y}_i\right)$$写成二次规划的形式：
$$J_{ref}=\left(x_1,y_1,...\right)\left(\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ & 1& & & \\ & & 1& & \\ & & & \ddots & \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ ⋮\\ ⋮\end{array}\right)+\left(-2\right)\left(x_1,y_1,......\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ ⋮\\ x_n\\ y_n\end{array}\right)$$  其中，大括号矩阵为单位矩阵，记为 $A_3^T$，为 $(2n\times 2n)$的矩阵。

写成二次规划形式：
$$J_{ref}=w_{ref\_cost}\cdot \left(x^{\text{T}}{A}_3^{\text{T}}{A}_{3}x+h^{\text{T}}x\right)$$其中，$h=\left(\begin{array}{c}-2x_{1r}\\ -2y_{1r}\\ ⋮\\ -2x_{nr}\\ -2y_{nr}\end{array}\right)$

  综上所述，把这三个代价写成二次规划的形式，统一起来：
$$J=x^T\left(w_{sommth}\cdot A_1^T{A}_1+w_{length}\cdot A_2^T{A}_2+w_{ref}\cdot A_3^T{A}_3\right)x+w_{ref}\cdot h^{T}x$$二次规划的标准形式：
$$\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x=x^T\left(\frac{H}{2}\right)x+f^{T}x$$则
$$\begin{array}{rl}H& =2\left(w_{sommth}\cdot A_1^T{A}_1+w_{lengtn}{A}_2^T{A}_2+w_{ref}{A}_3^T{A}_3\right)\\ f^T& =w_{ref}\cdot h^T\end{array}$$  至此，如何把优化问题转化为二次规划问题，以及怎么转化就讲解完毕。

3.3 约束问题

  接下来讲约束问题，就是怎么求二次规划的约束。

(1) 距离约束

  记待优化的路径点 $x={\left(x_1,y_1,\cdots ,x_n,y_n\right)}^T$

  原始路径点 $x_{ref}=\left(x_{1r},y_{1r},\cdots ,x_{nr},y_{nr}\right)$

  约束就是不希望 $x$ 与 $x_{ref}$ 相距太远

  有人可能觉得有代价函数保证了，就是不有几何形状代价，但可能参数调的不对，更倾向于平滑和紧凑，而几何形状的权重不高，就有可能比较散，所以说有必要再加约束。

  所以约束就是 $x$ 和 $x_{ref}$ 之间的距离要小于值 buff ，值可以自己确定：
$$|x-x_{ref}|\le \text{buff}$$展开
$$x_{ref}-\text{buff}\le x\le x_{ref}+\text{buff}$$  可取值 buff = 0.1，也可以自己标定，觉得 $0.1$ 不合适，可以放大或缩小一点。

(2) 曲率约束

  约束一般只需要 $x$ 和 $x_{ref}$ 之间不要差太远即可。但也有教程会讲曲率约束。在参考线平滑算法里，曲率约束一般不需要，因为曲率约束本身是非线性约束，要加上去比较麻烦，处理起来也很麻烦。

  而且曲率约束的与车的最大侧向加速度有关，可以放到后面再考虑。

为什么要对曲率做约束？

  因为有些弯可能太急了过不去，车有最大侧向加速度的限制，如果侧向加速度特别大，车可能会翻。但侧向加速度本身既和曲率有关，也和速度有关，所以最大曲率限制没有必要在一开始时就在参考线平滑中考虑，可以在后面速度规划时再考虑相关的曲率。

  所以在这里就先介绍一下曲率到底该怎么计算，看一下为什么曲率约束是非线性，至于曲率约束，在参考线平滑算法暂时不考虑。如果不放心想约束的话，更推荐把 平滑算法目标函数中，关于平滑代价函数权重增大一点，曲率自然会变小。

曲率的计算

  下面看一下曲率该怎么算。

  首先声明一下曲率的计算，是近似的算法，不是精确算法，不过近似程度也够了。

  比如这里有三个点，三点确定圆：

  近似认为上图中两段 $ds$ 相等，即 $|\overrightarrow{P_1{P}_2}|=|\overrightarrow{P_2{P}_3}|$，向量求和 $\overrightarrow{P_2{P}_1}+\overrightarrow{P_2{P}_3}$ 遵循平行四边形定则，所以蓝色图形肯定是平行四边形，但又因为 $ds$ 相等，所以两个边相等的平行四边形是菱形。既然是菱形，绿色三角形自然就是等腰三角形。

  同理浅粉红色三角形，因为两边的都是 $R$，也是等腰三角形。橙黄色角就是这两个等腰三角形之间的公共角。有两个等腰三角形其中有角是公共角，意味着两个三角形相似，则
$$\frac{l}{ds}=\frac{ds}{R}$$则曲率为
$$\kappa =\frac{1}{R}=\frac{l}{d{s}^2}$$$$l=|\overrightarrow{P_2{P}_1}+\overrightarrow{P_2{P}_3}|$$  可见 $l$ 是非线性，因为算向量的模的话，向量得先点乘自己，再开根号，有根号就是非线性，所以曲率约束是非线性约束。

  所以曲率约束在参考线平滑这里一般不加，因为处理起来比较麻烦。

  这样整个参考线以及参考线平滑内容讲解完毕。至于具体实践部分，放到下一篇博客再介绍。

  参考线平滑理论上比较简单，内容不多，目标函数就是三个代价相加，写上二次规划，加约束就可以求解了。

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四、算法加速方法

  前面的理论看起来好像不是特别难，但实际上这一节很难。因为难度不难在理论上，而是难在实践上。实践有最大的难点就是快。因为算法不能太慢，因为参考线算法是一切的基础，看开头所说的决策规划流程，第一步就是要计算参考线，剩下的步骤都得以此为基础。所以的参考线平滑算法不能太慢，必须要快。写出参考线平滑算法不难，但让程序运行得非常快，是非常费时间和费功夫。

  从 GitHub 上的模型就能看出来，真正的二次规划算平滑参考线只占非常一小块的地方，有很大部分都是解决怎样让代码运行得更快的。方法不是唯一的，在 GitHub 上的模型写的只是一种加速方法。

4.1 降低执行频率

  首先，规划执行频率不要高，大概 $100ms$ 执行一次即可，不要每次算得很频繁，要算得频繁自然就慢，因此二次规划算法不要执行得太过于频繁。

4.2 轨迹拼接

  每次参考线的选取都是以车的匹配点或投影点为原点往前取 $150m$，往后取 $30m$ 。这一点作为参考线的输入，因为车的运动速度有限，在每个规划周期之间不可能运动得非常快。所以两个规划周期之间必然很多参考线的选取是重复的，在上一次规划平滑时，就已经算过了，优化结果已知，所以就没有必要再算一遍，直接用上一次规划周期的结果。

  当然不可能和旧的结果完全一样，因为肯定会有新点加入进来，只需要处理新点即可，把新加进来的点做二次规划，这样二次规划的规模和计算量就会小很多，因为处理的点比较少。

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五、参考线平滑算法难点

5.1 快速找到车在全局路径下的投影点

  这是一切的基础，因为如果找不到投影点，没法往前取 $150m$、往后取 $30m$，如何去快速找到车在全局路径下的投影点，这也是一个问题。由此可见，解决这些问题有多难，要写轨迹拼接算法。

5.2 执行频率的调度问题

  如果规划是 $100ms$ 执行一次的话，得写调度，如何让 Simulink 每 $100ms$ 执行一次，也是问题。虽然理论不难，但从工程实践上来说，要处理很多的逻辑和算法。

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六、总结

  在自动驾驶决策规划算法中，参考线是解决导航路径过长且不平滑问题的关键。通过截取全局路径中的一段较短路径并进行平滑处理，简化了障碍物投影和匹配点的确定，使得规划算法能够在较小的范围内搜索最优路径。参考线的优点在于，较短的参考线投影更容易确定，且经过平滑处理后，路径更加平滑。

  参考线平滑算法通过代价函数来优化，代价函数包含了与原路径点相似代价、平滑代价和紧凑代价。通过将代价函数写成二次规划的形式，可以求解出最优的参考线点。在实际应用中，参考线平滑算法面临着许多挑战，特别是在算法的执行速度上。为了提高算法效率，可以采取降低执行频率和轨迹拼接的方法。

  本篇博客就讲解参考线平滑的理论部分，下一篇博客会讲解如何让算法跑得更快，编写具体的实践代码，欢迎关注后续内容！

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参考资料

  自动驾驶决策规划算法第二章第二节(上) 参考线模块

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后记：

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