专业学习｜动态规划（概念、模型特征、解题步骤及例题）

一、引言

（一）从斐波那契数列引入自底向上算法

（1）知识讲解

（2）matlap实现递归

（3）带有备忘录的遗传算法

（4）matlap实现带有备忘录的递归算法

“；”是为了不显示中间的计算结果；“==”双等号表示判断；“tic、toc”运算开始和结束的时间；

（5）采用自低向上的算法进行求解和代码实现

（二）从斐波那契数列（解决）引入动态规划

（1）从斐波那契数列引入动态规划

（2）动态规划中的常见概念

（3）动态规划解题思路

（4）例题讲解

1）使用递归解决打家劫舍问题

上述使用递归的方法会出现重叠子问题。

2）使用动态规划解决打家劫舍问题

3）动态规划中状态压缩的技巧

5）输出盗窃房屋的编号

（5）动态规划中的最优子结构和无后效性

（6）利用调试功能窥探动态规划函数内部

二、动态规划介绍

（一）动态规划中的常见到的概念

这里我们还是以求解斐波那契数列来举例子，尽管它不算严格的动态规划:

（1)子问题和原问题

原问题就是你要求解的这个问题本身，子问题是和原问题相似但规模较小的问题(原问题本身就是子问题的最复杂的情形，即子问题的特例)。例如:要求F(10)，那么求出F(10)就是原问题，求出F(k)(k≤10)都是子问题。

（2)状态

状态就是子问题中会变化的某个量，可以把状态看成我们要求解的问题的自变量。

例如:我们要求的F(10)，那么这里的自变量10就是一个状态。

（3)状态转移方程

能够表示状态之间转移关系的方程，一般利用关于状态的某个函数建立起来。例如:F(n)=F(n-1)+ F(n-2),当n为>2的整数时;当n=1或2时，F(n)=1，这种最简单的初始条件一般称为边界条件，也被称为基本方程。

（4)DP数组(DP就是动态规划的缩写)

DP 数组也可以叫"子问题数组"，因为 DP 数组中的每一个元素都对应一个子问题的结果，DP数组的下标一般就是该子问题对应的状态。例如:使用自底向上法编程求解时，我们定义的向量FF就可以看成一个DP数组数组下标从1取到n，对应的元素从F(1)取到F(n)。

（二）动态规划建模过程

（1）概述：

建立动态规划的模型，就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可用递推关系式联系起来的若干子问题，而正确建立基本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各阶段的状态变量具有递推的状态转移关系.

（2）动态规划模型的建立：

动态规划模型的构成要素：阶段、状态变量、决策变量、状态转移方程以及指标函数，如下图所示

（3）模型建立要点

1.分析题意，识别问题的多阶段特性，按时间或空间的先后顺序适当地划分为满足递推关系的若干阶段，对非时序的静态问题要人为地赋予“时段”概念。

2.正确地选择状态变量，使其具备两个必要特征：

（1）可知性；即过程演变的各阶段状态变量的取值，能直接或间接地确定。

（2）能够确切地描述过程的演变且满足无后效性。即由第k阶段的状态sk出发的后部子过程，可以看作是一个以sk为初始状态的独立过程。

3.根据状态变量与决策变量的含义，正确写出状态转移方程或转移规则。

4.正确列出最优指标函数的递推关系及边界条件（即基本方程）。

（4）动态规划的求解：

动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法（后向动态规划方法）、顺序解法（前向动态规划方法）。

逆序解法即寻优的方向与多阶段决策过程的实际行进方向相反，从最后一段开始计算逐段前推，求得全过程的最优策略。与之相反，顺序解法的寻优方向与过程的行进方向相同，计算时从第一段开始逐段向后递推，计算后一阶段要用到前一阶段的求优结果，最后一段计算的结果就是全过程的最优结果。

顺序解法与逆序解法本质上并无区别，一般来说，当初始状态给定时可用逆序解法，当终止状态给定时可用顺序解法。若问题给定了一个初始状态与一个终止状态，则两种方法均可使用。两者的不同之处主要有三点：状态转移方式不同；最优指标函数定义不同；基本方程形式不同。

1）状态转移方式不同

2）指标函数的定义不同

3）基本方程形式不同

（5）动态建模框架

（三）零钱兑换问题讲解（动态规划例题）

（1）零钱兑换问题分析

（2）编程求解

（3）怎样得到具体的硬币组合（分析及matlap实现）

（4）贪心算法解决生活中的找零问题

（5）扩展-背包问题扩展

（四）DP问题分类

DP 类型	介绍	解决问题性质	解题步骤	经典案例
线性 DP	针对单串或双串进行状态转移，通常涉及到子序列、子数组的性质。	子序列、子数组的优化	定义状态，建立递推关系，填写状态表	300. 最长上升子序列 <br> 1143. 最长公共子序列 <br> 120. 三角形最小路径和 <br> 53. 最大子序和 <br> 152. 乘积最大子数组 <br> 887. 鸡蛋掉落 <br> 354. 俄罗斯套娃信封问题 <br> 198. 打家劫舍 <br> 213. 打家劫舍 II <br> 股票系列（121, 122, 123, 188, 309, 714） <br> 字符串匹配系列（72, 44, 10）
区间 DP	通过定义区间状态来求解问题，常用于字符串和序列的性质。	区间划分、优化	定义区间状态，转移时考虑区间内的所有可能	516. 最长回文子序列 <br> 730. 统计不同回文子字符串 <br> 1039. 多边形三角剖分的最低得分 <br> 664. 奇怪的打印机 <br> 312. 戳气球
背包 DP	解决选择问题的背包问题，通过状态转移实现选择和价值的最优化。	最优选择、容量限制	定义物品和背包状态，转移时考虑物品的选择情况	416. 分割等和子集 <br> 494. 目标和 <br> 322. 零钱兑换 <br> 518. 零钱兑换 II <br> 474. 一和零
树形 DP	针对树形结构进行动态规划，利用树的递归性质。	树的路径、子树性质	深度优先遍历，维护状态	124. 二叉树中的最大路径和 <br> 1245. 树的直径 <br> 543. 二叉树的直径 <br> 333. 最大 BST 子树 <br> 337. 打家劫舍 III
状态压缩 DP	通过位运算压缩状态，用于处理较大状态空间的情况。	状态压缩、子集优化	使用位运算表示状态，维护状态转移	464. 我能赢吗 <br> 526. 优美的排列 <br> 935. 骑士拨号器 <br> 1349. 参加考试的最大学生数
数位 DP	解决涉及数字的组合和计数问题，通常用于约束条件下的数字组合。	数字组合、计数	定义数字状态，考虑每位的取值和限制	233. 数字 1 的个数 <br> 902. 最大为 N 的数字组合 <br> 1015. 可被 K 整除的最小整数
计数型 DP	通过计数方法解决路径、组合等问题，结合组合数学原理。	路径计数、组合计数	定义路径或组合状态，利用数学公式进行转移	62. 不同路径 <br> 63. 不同路径 II <br> 96. 不同的二叉搜索树 <br> 1259. 不相交的握手
递推型 DP	使用递推关系，通过快速幂等方法提高计算效率。	递推关系、状态转移	定义递推关系，利用快速幂优化计算	70. 爬楼梯 <br> 509. 斐波那契数 <br> 935. 骑士拨号器 <br> 957. N 天后的牢房 <br> 1137. 第 N 个泰波那契数
概率型 DP	用于计算概率和期望值，常见于随机过程问题。	概率计算、期望值	定义状态转移方程，利用概率性质进行推导	808. 分汤 <br> 837. 新21点
博弈型 DP	涉及两方博弈的问题，通过博弈论原理分析最优策略。	策略优化、对抗性游戏	定义状态，分析最优选择，通常使用极小化或极大化	293. 翻转游戏 <br> 294. 翻转游戏 II <br> 292. Nim 游戏 <br> 877. 石子游戏 <br> 1140. 石子游戏 II <br> 348. 判定井字棋胜负 <br> 794. 有效的井字游戏 <br> 1275. 找出井字棋的获胜者
记忆化搜索	结合深度优先搜索和记忆化技术，适用于状态转移不确定的情况。	状态空间优化、DFS	使用递归和哈希表存储结果，避免重复计算	329. 矩阵中的最长递增路径 <br> 576. 出界的路径数