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题目链接：LCR 099. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）

一、题目解析

题目：

解析：

二、算法原理

1、状态表示

2、状态转移方程

3、初始化

dp表初始化:

特殊位置初始化：

4、填表顺序

5、返回值

三、编写代码

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题目链接：LCR 099. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）

一、题目解析

题目：

解析：

  从左上角出发，到达右下角，每次只能向右或者向下走，求一条路径，使得走过的路径和最小

  拿示例一为例：

从左上角到右下角有很多路径可以走，但是只有图中走法路径和才会最小，这种题做过无数遍了吧

二、算法原理

1、状态表示

我们在状态标识的时候，一般都会创建一个数组dp，也就是我们所说的dp表，我们要做的就是把每一个状态的值填入这个表内，最终这个表内的某一个值可能就是我们要返回的值。 

  状态简单理解就是dp表内某一个值代表的含义。

如何确定状态表示

• 题目要求

   简单的题目里一般会给出

• 经验+题目要求

  越学越深入，动态规划也是熟能生巧，在题目中没有明显给出的时候，我们就要凭借自己做题的经验来确定，所以就需要我们大量的做题。

• 分析问题的过程中，发现重复子问题

 分析问题的过程中把重复子问题抽象成我们的状态表示，这个更难理解，一切的基础都是我们先对动态规划算法熟练运用。我也不懂，我们慢慢来。

综上：我们通常会以一个位置为结尾或者开始求得我们想要的答案

那我们的这道题得状态表示是什么样的：

根据经验，我们以一个位置为结尾作答

状态表示：dp[i][j]表示：到达该位置时，路径和达到最小

2、状态转移方程

 确定状态表示之后我们就可以根据状态标识推出状态转移方程

  状态转移方程是什么？

不讲什么复杂的，简单来说状态转移方程就是    dp[i][j]等于什么 dp[i][j]=？

  这个就是状态转移方程，我们要做的，就是推出dp[i][j]等于什么

  我们根据状态表示再结合题目+经验去推理转移方程，这一步也是我们整个解题过程中最难的一步

  我们在这道题先简单了解下什么是状态转移方程，之后比较难的题目再细推

  状态转移方程推理： 

    我们想要知道dp[i][j]，也就是(i,j)位置的最小路径和，我们要清楚我们是怎么到达(i,j)位置的

我们从题目中已知，我们可以向下或者向右走，所以我们静观(i,j)位置，我们可以知道，可以从    (i-1,j)位置向下，或者(i,j-1)位置向右都可以到(i,j)位置

示例图：

  我们知道dp表示的是到达一个位置的最小路径和，我们想知道dp[i][j]，那就需要知道到达(i,j)位置前的位置的最小路径和，也就是dp[ i-1 ][ j ]或者dp[ i ][ j-1 ]，至于是哪一个，我们需要比较他们两个的大小，选择最小的一个，最终再加上(i,j)位置的路径数，就是dp[ i ][ j ]了

状态转移方程：dp[i][j]=min( dp[ i-1 ][ j ] , dp[ i ][ j-1 ] )  + (i,j)位置的路径数

3、初始化

 我们创建dp表就是为了把他填满，我们初始化是为了防止在填表的过程中越界

怎么谈越界？

我们在填dp[0][0]时，我们会发现，到达该位置前的两个位置根本不存在

dp表初始化:

所以我们在初始化的时，需要额外增加一行一列，放置越界

特殊位置初始化：

  我们新增的一行一列，我们需要对其数据进行初始化，避免在与原有数据在比较大小时使填表受到影响，我们所求的是最小路径，所以在比较时，会选择最小的值来填表，那我们就在初始化时，把整个dp表的值初始化为INT_MAX，这样就不会影响原有数据的填表

  dp[0][0]位置最为特殊，没有与原有数据作比较，比较的是新增的两个位置的数据大小，如果都为INT_MAX的话，因为都是相同的INT_MAX,min函数比较时会把INT_MAX认为最小值，那会使刚开始填表就错误，之后的填表也不会正确，所以我们应该把这两个位置的值设置为0

4、填表顺序

从上到下，从左到右，依次填表

5、返回值

dp表的最后一个值

三、编写代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size(),n=grid[0].size();
//1、创建dp表，并把所有元素初始化为INT_MAX
     vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
//2、特殊位置初始化
     dp[0][1]=0;
     dp[1][0]=0;
//3、填表
     for(int i=1;i<=m;i++)
     {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
        }
     }
//4、返回值
     return dp[m][n];
    }
};