2376. 统计特殊整数

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提示

如果一个正整数每一个数位都是 互不相同 的，我们称它是 特殊整数 。

给你一个 正 整数 n ，请你返回区间 [1, n] 之间特殊整数的数目。

思路：

若n的位数是k，则对于位数在1-k-1的所有数，都满足一定小于n，则可以直接全求出来，基本方法就是对于位数是h的所有数，最高位可以从1-9中取得，有9种可能，次高位可以取0-9中除了最高位取得的那一位之外的数，同样有9种可能，再下一位也是从0-9种除了最高和次高两位之外的数，有8种可能，以此类推下去，就是有7，6，5....种可能，因此可以直接全求出来，式子是9*9*8*...(有几位能乘几个数)。

其次，对于位数是k位的，同样分两种情况，最高位小于n和最高位等于n。对于最高位小于n的数，除了第一位是固定之外，其余位数可以从0-9中任意取得。而对于最高位等于n的数又可以对次高位分成次高位小于和次高位等于的情况，判断方式类似，因此可以知道此处用了递归的策略。

此外，对于求有k位的数，假设前两位取12，和21，对于后面几位数的取法其实是一致的，因此可以用记忆搜索发，将前缀所用到的数字保存起来，若后面遇到相同的前缀，则可以直接取得结果。

此处保存前缀是利用一个数mask，将其看成二进制数是，第i位为1则表示第i位已经用过了，比如前缀是12，则二进制是110，也就是数字6。而对于保存前缀和，此处对于是高位和n相等和高位小于n，会影响到后面几位的结果，因此这两种情况需要分开，因此可以采用mask向左移动一位，然后用最低位的0，1表示是否是高位和n相等的情况。

class Solution {
public:
    unordered_map<int, int> memo;
    int countSpecialNumbers(int n) {
        string nStr = to_string(n);
        int res = 0;
        int prod = 9;
        for (int i = 0; i < nStr.size() - 1; i++) {
            res += prod;
            prod *= 9 - i;
        }
        res += dp(0, false, nStr);
        return res;
    }

      int dp(int mask, bool judge, const string& st)
    {
        if (__builtin_popcount(mask) == st.size())
            return 1; //此时只有可能是st本身

        int key = mask * 2 + (judge ? 1 : 0);//使得每个数字唯一对应一个下标
        if (memo.count(key))
            return memo[key]; //记忆搜索

        int ret = 0;
        int low = mask == 0 ? 1 : 0; //低位，mask为0的时候从1开始，用于处理最高位不能为0
        int high = judge? 9 : st[__builtin_popcount(mask)] - '0';
  
        for (int i = low; i <= high; i++)
        {
            if (((mask >> i) & 1) == 0)
                ret += dp(mask | (1 << i), judge || i < high, st);
        }
        memo[key] = ret;
        return memo[key];

    }
};