线性规划中的凸性证明
线性规划中可行域是凸的，这是自然能够想到和容易理解的道理。直观上，线性约束定义的可行域是由半平面的交集构成的，这些半平面的交集总是形成凸区域。
这么一个自然想到、容易理解的道理，怎么从数学上完备地证明它？下面的内容为此作答。
准备知识：
凸集的定义：如果集合 C C C中任意两点 X 1 X_1 X1和 X 2 X_2 X2，其连线上的所有点也都在集合 C C C中，称 C C C为凸集.
为了更好地理解凸集，下面给出一些凸集和凹集的示例：
线性规划的标准型：
m a x z = ∑ j = 1 n c j x j s . t . { ∑ j = 1 n a i j x j = b j x j ≥ 0 max \quad z= \sum_{j=1}^{n}c_{j}x_j \\ s.t. \left\{\begin{array}{l} {\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_j} \\ x_j \ge 0 \\ \end{array}\right. maxz=j=1∑ncjxjs.t.{∑j=1naijxj=bjxj≥0
证明
命题：如果线性规划中存在可行解，则可行解组成的可行域是凸集。
证明思路：任意假设两个可行解，证明其连线上的所有点仍属于可行域，即满足约束。
证明过程
步骤一：设任意两点，并给出满足约束的方程
- 设
X
1
=
(
x
11
,
x
12
,
…
,
x
1
n
)
T
X_1=(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n})^T
X1=(x11,x12,…,x1n)T,
X
2
=
(
x
21
,
x
22
,
…
,
x
2
n
)
T
X_2=(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n})^T
X2=(x21,x22,…,x2n)T为可行域内任意两点，其满足
{ ∑ j = 1 n a i j x 1 j = b j ∑ j = 1 n a i j x 2 j = b j \left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_{1j}=b_j \\ \sum_{j=1}^n a_{ij}x_{2j}=b_j \\ \end{array}\right. {∑j=1naijx1j=bj∑j=1naijx2j=bj
步骤二：设连线上的任意一点，并给出与两点的关系方程
- 连线上的任意点
X
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
T
X=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^T
X=(x1,x2,…,xn)T 的表示
X = k ( X 1 − X 2 ) + X 2 , 0 ≤ k ≤ 1 X=k(X_1-X_2)+X_2, \quad 0 \leq k \leq1 X=k(X1−X2)+X2,0≤k≤1
这一步如果不好理解，可以看下面的解释：
步骤三：判断
X
X
X 是否满足约束条件
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
j
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
(
k
(
x
1
j
−
x
2
j
)
+
x
2
j
)
=
k
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
1
j
−
k
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
2
j
+
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
2
j
=
k
b
j
−
k
b
j
+
b
j
=
b
j
\begin{aligned} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_{j}&=\sum_{j=1}^n a_{ij}(k(x_{1j}-x_{2j})+x_{2j}) \\ &= k\sum_{j=1}^n a_{ij} x_{1j} - k\sum_{j=1}^n a_{ij} x_{2j} + \sum_{j=1}^n a_{ij} x_{2j} \\ &= k b_j - k b_j + b_j \\ & = b_j \end{aligned}
j=1∑naijxj=j=1∑naij(k(x1j−x2j)+x2j)=kj=1∑naijx1j−kj=1∑naijx2j+j=1∑naijx2j=kbj−kbj+bj=bj
因此，
X
X
X 在可行域内。这证明了连线上的任意点均在可行域内，即可行域是凸集。
证毕！
参考资料：
- 胡运权主编的第五版《运筹学教程》
文档源码：
## 线性规划中的凸性证明
**线性规划中可行域是凸的**，这是自然能够想到和容易理解的道理。直观上，线性约束定义的可行域是由半平面的交集构成的，这些半平面的交集总是形成凸区域。
这么一个自然想到、容易理解的道理，怎么从数学上完备地证明它？下面的内容为此作答。
### 准备知识：
**凸集的定义**：如果集合$C$中任意两点$X_1$和$X_2$，其连线上的所有点也都在集合$C$中，称$C$为凸集.
<p align = "center">
<img src="https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c36979ba43054a219a993520e58b5f2f.png" width="200" />
</p>
为了更好地理解凸集，下面给出一些凸集和凹集的示例：
<p align = "center">
<img src="https://i-blog.csdnimg.cn/direct/29b80fec3fb341fc8bad74738821ef4f.png" width="200" />
</p>
**线性规划的标准型**：
$$max \quad z= \sum_{j=1}^{n}c_{j}x_j \\
s.t. \left\{\begin{array}{l}
{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_j} \\
x_j \ge 0 \\
\end{array}\right.$$
### 证明
命题：如果线性规划中存在可行解，则可行解组成的可行域是凸集。
证明思路：任意假设两个可行解，证明其连线上的所有点仍属于可行域，即满足约束。
证明过程
步骤一：**设任意两点，并给出满足约束的方程**
- 设$X_1=(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n})^T$,$X_2=(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n})^T$为可行域内任意两点，其满足
$$\left\{\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^n a_{ij}x_{1j}=b_j \\
\sum_{j=1}^n a_{ij}x_{2j}=b_j \\
\end{array}\right.$$
步骤二：**设连线上的任意一点，并给出与两点的关系方程**
- 连线上的任意点 $X=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^T$ 的表示
$$X=k(X_1-X_2)+X_2, \quad 0 \leq k \leq1$$
这一步如果不好理解，可以看下面的解释：
步骤三：**判断 $X$ 是否满足约束条件**
$$ \begin{aligned}
\sum_{j=1}^n a_{ij}x_{j}&=\sum_{j=1}^n a_{ij}(k(x_{1j}-x_{2j})+x_{2j}) \\
&= k\sum_{j=1}^n a_{ij} x_{1j} - k\sum_{j=1}^n a_{ij} x_{2j} + \sum_{j=1}^n a_{ij} x_{2j} \\
&= k b_j - k b_j + b_j \\
& = b_j
\end{aligned}$$
因此，$X$ 在可行域内。这证明了连线上的任意点均在可行域内，即可行域是凸集。
证毕！
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参考资料：
- 胡运权主编的第五版《运筹学教程》
