【高中数学/不等式/数学归纳法/等比数列】证明伯努利不等式(1+h)^n＞1+nh的三种方式

【伯努利不等式】

(1+h)^n>1+nh （h>0,n为大于1的自然数）

【数学归纳法证法】

证明：

n=2时，(1+h)^2=1+2h+h^2>1+2h 不等式成立

n=3时，(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3>1+3h 不等式成立

假设n=k时，有(1+h)^k>1+kh

则n=k+1时，(1+h)^(k+1）=(1+h)^k*(1+h)>(1+kh)(1+h)=1+(1+k)h+kh^2>1+(1+k)h 不等式成立

综上知对于n>1的整数，伯努利不等式(1+h)^n>1+nh 均成立

【等比数列证法】

证明：

有等比数列1，1+h，(1+h)^2，......，(1+h)^(n-1)

其和为

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (a1=1,q=1+h)

=1(1-(1+h)^n)/(1-(1+h))

=((1+h)^n-1)/h

把两边写成即为

((1+h)^n-1)/h=1+ 1+h + (1+h)^2+......+(1+h)^(n-1)>1+1+1+......+1=n

展开即得(1+h)^n>1+nh

【函数图像证法】

伯努利不等式原型为(1+h)^n>1+nh

以x代1+h,则

左边=x^n 右边=1+n(x-1）

两边同减一得

左边=x^n-1 右边=n(x-1)

从函数解析式可以看出，左边是幂函数下移一个单位，右边是过(1,0)点的直线；两曲线都过(1,0)点，过此点后，左边的增速远高于右边，即x>1时，x^n-1>n(x-1)

y=n(x-1)的斜率为n，y=x^n-1的斜率为y'=nx^(n-1)当，x-1时，y'=n.

故曲线y=x^n-1在(1,0)点与直线y=n(x-1)相切，之后前者就逐渐甩开后者。

以下时n取2，3，4时两者的对比图：

依次类推，可见n>1时，x^n-1>n(x-1)

将x=1+h代回得

(1+h)^n-1>n(1+h-1)

即(1+h)^n>nh+1

注：第三种方法不算严格证明，但非常直观。

【绘制图线的Canvas代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body οnlοad="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="直观证明伯努利不等式 (当n=3时)";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                 // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<TIME_END){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    // 内置对象(非必要勿更改)
    var obj=new Object;

    // 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
    obj.curves=[];

    // 塞入曲线1(按需修改设定项)
    obj.curves.push({
        name:"曲线:f(x)=x^3-1",
        xEnd:4,
        x:0,
        y:0,
        setY:function(x){
            this.y=Math.pow(x,3)-1;// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};    
            
            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    });

    // 塞入曲线2(按需修改设定项)
    obj.curves.push({
        name:"曲线:f(x)=3(x-1)",
        xEnd:4,
        x:0,
        y:0,
        setY:function(x){
            this.y=3*(x-1);// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};    
            
            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    });
                            
    // 随时间更新位置(非必要勿更改)
    obj.update=function(t){
        for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
            var curve=this.curves[i];

            if(curve.x<curve.xEnd){
                curve.x+=0.01;
                curve.setY(curve.x);
            }
        }
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 手动标记点
        //paintPoint(ctx,2,2/Math.log(2),"a","navy");
        //paintPoint(ctx,3,3/Math.log(3),"b","navy");
        //paintPoint(ctx,Math.E,Math.E,"c","navy");

        // 文字左上角位置(可手动修改设定值)
        const X_START=-230;    // 文字横起点
        const Y_START=150;    // 文字纵起点
        const OFFSET=50;    // 文字间隔
        // 遍历曲线数组(非必要勿更改)
        for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
            var curve=this.curves[i];
            var color=getColor(i);

            // 曲线名称
            drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
            // 曲线当前点坐标
            drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
            
            // 绘制曲线
            if(curve.pts0){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
                
                // 绘制曲线分段1的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts0);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts1){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
                // 绘制曲线分段2的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts1);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts2){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
                // 绘制曲线分段3的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts2);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts3){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
                // 绘制曲线分段4的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts3);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts4){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
                // 绘制曲线分段4的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts3);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
        }
    };

    // 画背景(非必要不更改)
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
    var xReal=x*SCALE_UNIT;
    var yReal=y*SCALE_UNIT;

    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.lineWidth=0.5;

    // 划线
    ctx.save();
    ctx.setLineDash([5,5]);
    ctx.beginPath();    
    ctx.moveTo(xReal,0);
    ctx.lineTo(xReal,yReal);
    ctx.lineTo(0,yReal);
    ctx.stroke();
    ctx.restore();

    // 画圈
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();    
    ctx.stroke();

    // 写文字
    var metrics = ctx.measureText(text);
    var textWidth = metrics.width;
    drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.save();
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.lineWidth=1;

    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
        }
    }     
    ctx.stroke();  
    ctx.restore();
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();
      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    const AXISY_COLOR="black";

    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        if(x==0){
            continue;
        }

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
        drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    const AXISY_COLOR="black";
        
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
        var metrics = ctx.measureText(text);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
    var s=scale*10;
    if(s % 5==0){
        return scale+"";
    }else{
        return scale.toFixed(2);
    }
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="lightgrey";    

    // 分十格
    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    // 十小格间的分割线
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="grey";
    ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段

    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "maroon" /* 栗色 */,
        "orange" /* 橙色 */,
        "blue"   /* 蓝色 */,
        "green"  /* 绿色 */,       
        "fuchsia"/* 紫红 */,        
        "grey"   /* 灰色 */,
        "lime"   /* 酸橙 */,        
        "navy"   /* 海蓝 */,        
        "purple" /* 紫色 */,
        "skyblue"/* 天蓝 */,
        "teal"   /* 蓝绿 */,
        "yellow" /* 亮黄 */,
        "aqua"   /* 湖绿 */,
        "red"    /* 红色 */,        
        "black"  /* 黑色 */,    
    ];

    return arr[index % arr.length];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}

// JS开立方
function kaiLiFang(x){
    if(x>0){
        return Math.pow(x,1/3);
    }else{
        return -Math.pow(-x,1/3);
    }
}
//-->
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遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
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