数据结构之树（下），你真的懂吗？

news2024/11/12 21:57:06

数据结构入门学习（全是干货）——树（下）

1 堆 (Heap)

1.1 什么是堆

堆 (Heap) 是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆。

  • 最大堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，根节点是整个堆的最大值。
  • 最小堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值，根节点是整个堆的最小值。

堆常用来实现优先队列，支持高效的最大值/最小值查找、插入和删除操作。

优先队列(Priority Queue)：特殊的"队列"，取出元素的顺序是依照元素的优先权(关键字)大小，而不是元素进入队列的先后顺序

是否可以采用二叉树存储结构？
  • 二叉搜索树？ 堆不是二叉搜索树，虽然堆可以用二叉树的形式表示，但它并不满足二叉搜索树的“左小右大”性质。
二叉树结构对插入与删除的影响
  • 插入或删除时，堆的顺序如何安排？ 堆通常存储在数组中，插入或删除元素时必须保持二叉树的完全性，并且调整堆的结构以满足最大堆或最小堆的性质。
优先队列的完全二叉树表示

  • 堆通常用数组存储，每个节点的父节点和子节点的索引可以通过简单的数学运算确定：
    • 父节点：parent(i) = (i-1)/2
    • 左子节点：left(i) = 2*i + 1
    • 右子节点：right(i) = 2*i + 2
堆的抽象数据类型描述
  • 插入：Insert(x) 插入元素 x 到堆中，保持堆的有序性。
  • 删除：DeleteMax() 或 DeleteMin() 删除堆中最大或最小的元素，保持堆的有序性。

1.2 堆的插入

在最大堆中插入一个新元素时，必须保持最大堆的特性，即每个父节点的值必须大于等于其子节点的值。

最大堆的插入步骤：
  1. 将新元素插入到堆的末尾。
  2. 比较新元素与其父节点的值，如果新元素比父节点大，则交换两者的位置。
  3. 重复此过程，直到新元素的父节点不再比它小，或者新元素成为根节点。
插入算法：
void insert(MaxHeap *H, int value) {
    int i = ++H->size; // 将新元素插入堆的最后一个位置
    for (; i > 1 && value > H->Elements[i / 2]; i /= 2) {
        H->Elements[i] = H->Elements[i / 2]; // 向上移动父节点
    }
    H->Elements[i] = value; // 插入新元素
}
关键问题：
  • “哨兵”：在堆的创建过程中，常常会在堆的数组索引 0 处设置一个“哨兵”元素，用于简化插入和删除操作。通常哨兵的值设为一个极大值（如 MaxData），使得堆中的其他值都比它小。

1.3 堆的删除

在最大堆中，删除操作通常指的是删除堆的根节点，即堆中的最大值。

最大堆的删除步骤：
  1. 取出堆的根节点（最大值），同时将堆的最后一个节点移到根位置。

  1. 比较新根节点与其子节点的值，选择较大的子节点与根节点交换，保持堆的有序性。
  2. 重复此过程，直到根节点不再比子节点小，或节点成为叶子节点。
删除算法：
int deleteMax(MaxHeap *H) {
    int maxElement = H->Elements[1]; // 最大值
    int temp = H->Elements[H->size--]; // 用最后一个元素填补根
    int parent, child;

    for (parent = 1; parent * 2 <= H->size; parent = child) {
        child = parent * 2; // 左孩子
        if (child != H->size && H->Elements[child] < H->Elements[child + 1]) {
            child++; // 右孩子
        }
        if (temp >= H->Elements[child]) break; // 找到位置
        H->Elements[parent] = H->Elements[child]; // 向下移动
    }
    H->Elements[parent] = temp; // 插入最后的元素
    return maxElement; // 返回最大值
}

1.4 堆的建立

堆排序 是堆的一个常见应用，在堆排序中，我们首先需要将数组构建为一个堆。

最大堆的建立：

最大堆的建立可以通过下滤（Sift Down）方法，从堆中间位置开始，逐步调整每个子堆。

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(NlogN)
每次插入 它的时间复杂性是log2N
总共循环N遍，所以整个时间复杂性是Nlog2N
上方这个方法1的效率是不够的，我们可以有更好的方法
方法2：在线性时间复杂度下建立最大堆.
(1)将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
(2)调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性
问题：

对于元素个数为12的堆，其各结点的高度之和是多少？答案是 10。

2 哈夫曼树与哈夫曼编码

2.1 什么是哈夫曼树

哈夫曼树（Huffman Tree） 又称为最优二叉树，是一种带权路径长度最短的树。带权路径长度（WPL）指的是所有叶子节点的权重乘以它们到根节点的路径长度之和。

[例]将百分制的考试成绩转换成五分制的成绩

if(score < 60 ) grade = 1;
else if(score < 70) grade = 2;
else if(score < 80) grade = 3;
else if(score < 90) grade = 4;
else grade = 5;

上述代码中，其实对应着就有一棵树，如下图：

优化后的效率：

if(score < 80)
{
    if(score < 70 )
        if(score < 60) grade = 1;
    else grade = 2;
}else if(score < 90 )grade = 4;
else grade = 5;
哈夫曼树的性质：
  • 哈夫曼树是带权路径长度最小的二叉树。
  • 没有度为1的节点。
  • 如果有 n 个叶子节点，则哈夫曼树有 2n - 1 个节点。
举例：

有5个叶子节点，它们的权值为 {1，2，3，4，5}。根据这些权值可以构造多个不同的二叉树，但哈夫曼树保证了最小的带权路径长度。

是50

2.2 哈夫曼树的构造

哈夫曼树的构造方法：

  1. 将所有节点看作一个森林，每棵树仅有一个节点，权重为该节点的权值。
  2. 每次选取权值最小的两棵树，合并成一棵新的树，新树的权值为两棵树的权值之和。
  3. 重复上述过程，直到所有节点被合并成一棵树。
typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode{
    int Weight;
    HuffmanTree Left,Right;
}
HuffmanTree Huffman(MinHeap H)
{
    //假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里
    int i; HuffmanTree T;
    BuildMinHeap(H);//将H->Elements[]按权值调整为最小堆
    for(i = 1;i < H->Size; i++){//做H->Size-1次合并
        T = malloc(sizeof(struct TreeNode));//建立新结点
        T->Left = DeleteMin(H);//从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点
        T->Right = DeleteMin(H);//从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点
        T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;//计算新权值
        Insert(H,T);//将新T插入最小堆
    }
    T = DeleteMin(H);
    return T;
}
整体复杂度为O(NlogN)
哈夫曼树的特点：
  1. 没有度为1的节点。
  2. 任意非叶子节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树。
  3. n 个叶子节点的哈夫曼树共有 2n - 1 个节点。

2.3 哈夫曼编码

哈夫曼编码是一种前缀编码法，用于对字符进行不等长编码，使得高频字符的编码较短，低频字符的编码较长，从而减少总的编码长度。

哈夫曼编码的步骤：
  1. 根据字符出现的频率构造哈夫曼树。
  2. 从根节点到叶子节点的路径表示字符的编码。向左分支为 0，向右分支为 1。
举例：

给定字符串 “AAABBCC”，用哈夫曼编码可以为频率高的字符 A 分配较短的编码（如 0），为频率低的字符 B 和 C 分配较长的编码。

分析：

  1. 用等长ASCII编码：58×8 = 464位

  2. 用等长3位编码：58×3 = 174位;

  3. 不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低的字符则可以编码长些？

怎么进行不等长编码？

如何避免二义性(就是你这个编码不止一个意思)

  1. 前缀码prefix code：任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀

    • 可以无二义地解码(你的这个编码不能是其他编码的前缀)

  2. 二叉树用于编码：

    • 左右分支：0、1

    • 字符只在叶结点上

    • 怎么构造一颗编码代价最小的二叉树？

3 集合及运算

3.1 集合的表示及查找

集合运算包括交集、并集、差集等操作。

并查集（Union-Find）：

并查集是一种用于处理动态连通性问题的树形结构。它支持两个主要操作：

  • 查找（Find）：查找某元素所属的集合。

    int Find(SetType S[],ElementType X)
{
    //在数组S中查找值为X的元素所属的集合
    //MaxSize是全局变量，为数组S的最大长度
    int i;
    for(i = 0;i < MaxSize && S[i].Data != X; i++);
    if(i >= MaxSize) return -1;//未找到X,返回-1
    for(;S[i].Parent >= 0; i = S[i].Parent);//Parent的值为-1的时候就是找到根结点。i = S[i].Parent：原本指向i的位置现在跳到了s[i].Parent
    return i;//找到X所属集合，返回树根结点在数组S中的下标
}

  • 合并（Union）：合并两个元素所属的集合。

集合的树结构表示：

每个元素是一个节点，每个集合是由这些元素组成的树。根节点表示集合的代表元素，父节点指向上级节点。

3.2 集合的并运算

并运算的实现通过找到两个元素的根节点，然后将其中一个根节点指向另一个根节点。

void Union(SetType S[ ],ElementType X1,ElementType X2 )
{
    int Root1,Root2;
    Root1 = Find(S,X1);//得到X1与X2对应的树根
    Root2 = Find(S,X2);
    if( Root1 != Root2 ) S[Root2].Parent = Root1;//判断如果不是本身就是同一个集合的，如果是同一个集合的话就不需要做这个并的操作。不同则合并
}
优化：

为了减少树的高度，提高查找效率，可以采用按秩合并或按大小合并的方法，将较小的树合并到较大的树上。

小测验：

已知 a 和 b 均为所在集合的根节点，分别位于数组分量3和2位置上，parent值分别为-3和-2。按集合大小合并后，a 和 b 的 parent 值分别是 -5 和 3。

集合的定义与并查

#define MAXN 1000                  /* 集合最大元素个数 */
typedef int ElementType;           /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef int SetName;               /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MAXN]; /* 假设集合元素下标从0开始 */

void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
{ /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */
    /* 保证小集合并入大集合 */
    if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */
        S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */
        S[Root1] = Root2;
    }
    else {                         /* 如果集合1比较大 */
        S[Root1] += S[Root2];     /* 集合2并入集合1  */
        S[Root2] = Root1;
    }
}

SetName Find( SetType S, ElementType X )
{ /* 默认集合元素全部初始化为-1 */
    if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */
        return X;
    else
        return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */

4 小白专场：堆中的路径

题目描述：

给定5个数据构成一个最小堆，并进行3次查询。查询的目的是给定堆中的某个节点，求从根节点到该节点的路径。

解决思路：

将给定的数据插入堆中，维护堆的有序性。查询时，逐层向上追溯，从给定节点回到根节点，并记录路径。

堆的表示及其操作(堆是一种按一定顺序组织的完全二叉树)
#define MAXN 1001
#define MINH -10001

int H[MAXN],size;//由于堆在存储的时候是把根结点放在数组下标为1的地方，也就是说0是空缺的
//这样子按照一层层顺序逐个往数组后面存放，使得堆中的任何一个元素可以很容易的找到他的父节点在哪里，左右儿子在哪里
//整数size表示当前堆大小
void Create()//堆的初始化，就是建立一个空堆(size设置为0)
{
    size = 0;
    H[0] = MINH;//设置岗哨
}
//插入操作
void Insert(int X)
{
    //将X插入H。这里省略检查堆是否已满的代码
    int i;
    for(i = ++size;H[i/2]>X;i/=2)
        H[i] = H[i/2];//i挪到父节点(i/2)的位置
    H[i] = X;
}

主程序
    int main()
{
    1.读入n和m
    2.根据输入序列建堆
    3.对m个要求：打印到根的路径
        
        return 0;
}
//具体实现程序
int main()
{
    int n,m,x,i,j;
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    Create();//堆初始化
    for(i = 0;i < n; i++ ) {//以逐个插入方式建堆
        scanf("%d",&x);
        Insert(x);//利用Insert函数插到堆中
    }
    //m个查询
    for(i=0;i<m;i++){
        scanf("%d",&j);
        printf("d",H[j]);
        while(j < 1){//沿根方向输出各结点(也就是说把他的祖先全部打印出来了)当j>1是代表还没有到根的时候，根的位置是1，这时候j/2就代表了他父节点的位置
            j /= 2;
            printf("%d",H[j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

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