MATLAB 在数学建模中的深入应用：从基础到高级实践

前言

一、MATLAB基础知识

1.1 MATLAB工作环境简介

1.1.1 命令窗口（Command Window）

1.1.2 工作区（Workspace）

1.1.3 命令历史（Command History）

1.1.4 编辑器（Editor）

1.1.5 当前文件夹（Current Folder）

1.2 数据类型和基本操作

1.2.1 常用数据类型

1.2.2 矩阵和数组操作

创建矩阵和数组

基本矩阵运算

示例：矩阵运算

索引与切片

使用内置函数生成特殊矩阵

1.3 函数的定义与使用

1.3.1 定义函数

1.3.2 示例：计算两个数的最大公约数

1.4 常用内置函数

1.4.1 数学函数

1.4.2 统计函数

1.4.3 线性代数函数

二、数学建模的方法论

2.1 问题描述与分析

2.2 建立模型假设

2.3 建立数学模型

2.4 模型求解与验证

2.5 模型分析与改进

三、MATLAB在数学建模中的应用实例

3.1 实例一：人口增长模型

3.1.1 问题描述

3.1.2 建立模型

3.1.3 MATLAB求解

3.1.4 结果分析

3.2 实例二：SIR传染病模型

3.2.1 问题描述

3.2.2 建立模型

3.2.3 MATLAB求解

3.2.4 结果分析

3.3 实例三：谐振子运动模拟

3.3.1 问题描述

3.3.2 建立模型

3.3.3 MATLAB求解

3.3.4 结果分析

结论

参考文献与学习资源

前言

在科技迅猛发展的时代，数学建模已成为理解和解决复杂现实问题的关键工具。MATLAB作为一款功能强大的科学计算软件，凭借其高效的数值计算能力、丰富的函数库和直观的可视化功能，广泛应用于数学建模领域。本文将从以下三个部分深入探讨MATLAB在数学建模中的应用：

MATLAB基础知识
数学建模的方法论
MATLAB在数学建模中的应用实例

一、MATLAB基础知识

1.1 MATLAB工作环境简介

熟悉MATLAB的工作环境是高效进行数学建模的第一步。MATLAB的界面主要由以下部分组成：

1.1.1 命令窗口（Command Window）

功能：用于直接输入和执行命令，与MATLAB进行交互。
特点：即时反馈，适合测试简单的代码段。

1.1.2 工作区（Workspace）

功能：显示当前定义的变量及其数值，方便查看和管理数据。
特点：可直观地观察变量的变化。

1.1.3 命令历史（Command History）

功能：记录用户输入的所有命令，便于回溯和重复执行。
特点：支持命令搜索和再次执行。

1.1.4 编辑器（Editor）

功能：用于编写、编辑和调试脚本文件（.m文件）和函数文件。
特点：支持语法高亮、自动缩进和调试工具。

1.1.5 当前文件夹（Current Folder）

功能：显示当前工作目录下的文件和文件夹，便于管理项目文件。
特点：支持文件的创建、删除和重命名。

1.2 数据类型和基本操作

1.2.1 常用数据类型

数据类型	描述	示例
数值类型	整数、浮点数、复数	`a = 5;` `b = 3.14;`
字符类型	单个字符或字符数组	`c = 'hello';`
字符串	字符串数组（从R2016b开始支持）	`str = "world";`
逻辑类型	真或假，`true`或`false`	`flag = true;`
结构体	包含不同类型数据的集合	`s.name = 'John';`
元胞数组	存储不同类型或大小的数据	`C = {1, 'text', [1,2]};`

1.2.2 矩阵和数组操作

创建矩阵和数组

% 创建2x3矩阵
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];

% 创建行向量
rowVec = [1, 2, 3, 4, 5];

% 创建列向量
colVec = [1; 2; 3; 4; 5];

基本矩阵运算

运算符	描述	示例
`+`	矩阵加法	`C = A + B;`
`-`	矩阵减法	`C = A - B;`
`*`	矩阵乘法	`C = A * B;`
`.*`	数组元素乘法	`C = A .* B;`
`/`	矩阵右除	`C = A / B;`
`.\`	数组元素右除	`C = A ./ B;`
`^`	矩阵乘方	`C = A ^ 2;`
`.^`	数组元素乘方	`C = A .^ 2;`
`'`	矩阵转置	`A_T = A';`

示例：矩阵运算

% 矩阵乘法（需满足矩阵乘法的维度要求）
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5; 6];
C = A * B; % 结果为 [17; 39]

% 数组元素乘法
D = A .* A; % 结果为 [1, 4; 9, 16]

索引与切片

% 访问矩阵元素
element = A(2, 1); % 结果为3

% 提取矩阵的第一列
firstCol = A(:, 1); % 结果为 [1; 3]

% 提取矩阵的子矩阵
subMatrix = A(1:2, 1:2); % 结果为 A 本身

使用内置函数生成特殊矩阵

函数	描述	示例
`zeros(n,m)`	创建全零矩阵	`Z = zeros(2,3);`
`ones(n,m)`	创建全一矩阵	`O = ones(3);`
`eye(n)`	创建单位矩阵	`I = eye(4);`
`rand(n,m)`	创建随机矩阵（均匀分布）	`R = rand(2,2);`
`randn(n,m)`	创建随机矩阵（正态分布）	`N = randn(3,3);`

1.3 函数的定义与使用

1.3.1 定义函数

函数文件必须与函数名同名，扩展名为.m。
函数的基本结构：

function [output1, output2, ...] = functionName(input1, input2, ...)
    % 函数说明
    % 输入参数：
    %   input1 - 描述
    %   input2 - 描述
    % 输出参数：
    %   output1 - 描述
    %   output2 - 描述

    % 函数体
    ...
end

1.3.2 示例：计算两个数的最大公约数

function gcdValue = computeGCD(a, b)
    % 计算两个整数的最大公约数
    while b ~= 0
        temp = b;
        b = mod(a, b);
        a = temp;
    end
    gcdValue = a;
end

调用函数：

result = computeGCD(48, 18); % 结果为6

1.4 常用内置函数

1.4.1 数学函数

函数	描述	示例
`abs(x)`	绝对值	`y = abs(-5);`
`sqrt(x)`	平方根	`y = sqrt(16);`
`exp(x)`	指数函数	`y = exp(1);`
`log(x)`	自然对数	`y = log(2.71828);`
`log10(x)`	常用对数	`y = log10(100);`
`sin(x)`	正弦函数（弧度）	`y = sin(pi/2);`
`cos(x)`	余弦函数（弧度）	`y = cos(0);`
`tan(x)`	正切函数（弧度）	`y = tan(pi/4);`

1.4.2 统计函数

函数	描述	示例
`mean(x)`	平均值	`avg = mean([1, 2, 3, 4]);`
`median(x)`	中位数	`med = median([1, 2, 3, 4]);`
`mode(x)`	众数	`m = mode([1, 2, 2, 3, 4]);`
`std(x)`	标准差	`s = std([1, 2, 3, 4]);`
`var(x)`	方差	`v = var([1, 2, 3, 4]);`
`sum(x)`	求和	`total = sum([1, 2, 3, 4]);`
`prod(x)`	连乘积	`p = prod([1, 2, 3, 4]);`
`max(x)`	最大值	`maxVal = max([1, 2, 3, 4]);`
`min(x)`	最小值	`minVal = min([1, 2, 3, 4]);`

1.4.3 线性代数函数

函数	描述	示例
`det(A)`	计算矩阵的行列式	`d = det([1, 2; 3, 4]);`
`inv(A)`	计算矩阵的逆	`A_inv = inv([1, 2; 3, 4]);`
`rank(A)`	矩阵的秩	`r = rank([1, 2; 3, 4]);`
`eig(A)`	矩阵的特征值和特征向量	`[V, D] = eig([1, 2; 3, 4]);`
`svd(A)`	奇异值分解	`[U, S, V] = svd(A);`

二、数学建模的方法论

2.1 问题描述与分析

明确问题：清晰地定义需要解决的实际问题。
背景调研：收集相关的背景信息和数据，理解问题的本质。
确定目标：设定模型需要达到的目标和要求。

2.2 建立模型假设

简化复杂性：对实际问题进行合理的简化，忽略次要因素。
设定条件：明确模型适用的范围、边界条件和初始条件。
变量选取：确定模型中的关键变量和参数。

2.3 建立数学模型

选择数学工具：根据问题性质，选择合适的数学方法（如微分方程、代数方程、统计模型等）。
建立关系式：根据物理定律、经验公式或统计关系，建立变量之间的数学关系。
模型表达：将问题形式化，得到可计算的数学模型。

2.4 模型求解与验证

求解模型：使用解析方法或数值方法求解模型。
算法选择：选择合适的算法和计算工具，确保计算的准确性和效率。
结果验证：将模型结果与实际数据或已知结果进行比较，验证模型的合理性。

2.5 模型分析与改进

结果分析：解释模型结果的物理意义或现实意义。
敏感性分析：研究模型对参数变化的敏感程度，识别关键参数。
模型改进：根据分析结果，调整模型结构或参数，提高模型的准确性和适用性。

三、MATLAB在数学建模中的应用实例

3.1 实例一：人口增长模型

3.1.1 问题描述

预测一个地区的人口增长情况，考虑出生率、死亡率和环境承载力等因素。

3.1.2 建立模型

采用Logistic增长模型，其微分方程为：

$\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{R}{K})$

P(t)：人口数量
r：固有增长率
K：环境承载力

3.1.3 MATLAB求解

代码示例：

% 参数定义
r = 0.02;        % 固有增长率
K = 1e7;         % 环境承载力
P0 = 1e6;        % 初始人口
tspan = [0, 100];% 时间范围（年）

% 定义微分方程
dPdt = @(t, P) r * P * (1 - P / K);

% 使用ode45求解
[t, P] = ode45(dPdt, tspan, P0);

% 绘制结果
figure;
plot(t, P, 'LineWidth', 2);
xlabel('时间（年）');
ylabel('人口数量');
title('人口增长的Logistic模型');
grid on;

知识点讲解：

Logistic模型：描述了有限资源条件下的人口增长，体现了人口数量的自我限制作用。
ode45函数：MATLAB中用于求解常微分方程的数值方法，基于Runge-Kutta算法，适用于非刚性问题。
匿名函数：使用@(t, P)定义微分方程，方便传递给ode45求解器。

3.1.4 结果分析

从图形上可以看到，人口增长在初期呈指数增长，当接近环境承载力时，增长速度减缓，最终趋于稳定。

3.2 实例二：SIR传染病模型

3.2.1 问题描述

模拟传染病在群体中的传播过程，分析易感者、感染者和康复者的人数变化。

3.2.2 建立模型

SIR模型的微分方程为：

$\left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-\beta \frac{SI}{N} \\ \\ \frac{dI}{dt}=\beta \frac{SI}{N}-\gamma I \\ \\\frac{dR}{dt}=\gamma I \end{matrix}\right.$

S(t)：易感者人数
I(t)：感染者人数
R(t)：康复者人数
N=S+I+RN ：总人口
β：传染率
γ：康复率

3.2.3 MATLAB求解

代码示例：

% 参数定义
N = 1e5;        % 总人口
beta = 0.3;     % 传染率
gamma = 0.1;    % 康复率
I0 = 1;         % 初始感染者
S0 = N - I0;    % 初始易感者
R0 = 0;         % 初始康复者
tspan = [0, 160]; % 时间范围（天）

% 微分方程定义
function dYdt = sirModel(t, Y)
    S = Y(1);
    I = Y(2);
    R = Y(3);
    dSdt = -beta * S * I / N;
    dIdt = beta * S * I / N - gamma * I;
    dRdt = gamma * I;
    dYdt = [dSdt; dIdt; dRdt];
end

% 初始条件
Y0 = [S0; I0; R0];

% 求解微分方程
[t, Y] = ode45(@sirModel, tspan, Y0);

% 绘制结果
figure;
plot(t, Y(:,1), 'b', t, Y(:,2), 'r', t, Y(:,3), 'g', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间（天）');
ylabel('人数');
legend('易感者', '感染者', '康复者');
title('SIR传染病模型模拟');
grid on;

知识点讲解：

SIR模型：经典的传染病模型，反映了群体中个体在不同状态之间的转移。
函数句柄：@sirModel表示将函数sirModel的句柄传递给ode45。
向量化：微分方程的状态变量以向量形式表示，便于处理多变量系统。

3.2.4 结果分析

感染者人数：先上升后下降，形成峰值。
易感者人数：持续下降。
康复者人数：持续上升，最终趋于稳定。

3.3 实例三：谐振子运动模拟

3.3.1 问题描述

模拟受迫阻尼谐振子的运动，分析其在外力作用下的动态行为。

3.3.2 建立模型

运动方程：

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+c\tfrac{dx}{dt}+kx=F(t)$

m：质量
c：阻尼系数
k：弹性系数
F(t)：外力（如正弦驱动力）

将二阶微分方程转化为一阶微分方程组：

令 $v=\frac{dx}{dt}$ ，则：

$\left\{\begin{matrix} \frac{dy}{dt} =v \\ \\ \frac{dy}{dt} =\frac{1}{m}[F(t)-cv-kx] \end{matrix}\right.$

3.3.3 MATLAB求解

代码示例：

% 参数定义
m = 1;           % 质量，kg
c = 0.5;         % 阻尼系数，N·s/m
k = 20;          % 弹性系数，N/m
F0 = 5;          % 驱动力幅值，N
omega = 2;       % 驱动力角频率，rad/s
tspan = [0, 20]; % 时间范围，s
initialConditions = [0; 0]; % 初始位移和速度

% 运动方程定义
function dxdt = oscillator(t, x)
    F = F0 * sin(omega * t);
    dxdt = [x(2); (F - c * x(2) - k * x(1)) / m];
end

% 求解微分方程
[t, X] = ode45(@oscillator, tspan, initialConditions);

% 绘制位移-时间曲线
figure;
plot(t, X(:,1), 'LineWidth', 2);
xlabel('时间（s）');
ylabel('位移（m）');
title('受迫阻尼谐振子运动模拟');
grid on;

% 绘制相位图（位移-速度）
figure;
plot(X(:,1), X(:,2), 'LineWidth', 2);
xlabel('位移（m）');
ylabel('速度（m/s）');
title('相位图');
grid on;

知识点讲解：