浅谈树形结构——特殊的树—

浅谈树形结构——特殊的树——二叉树

news2025/1/1 8:32:11

文章目录

一、什么是二叉树？
二、二叉树的特点
三、二叉树的性质
四、两种特殊的二叉树
- 4.1、满二叉树
- 4.2、完全二叉树
五、一些关于二叉树特性的习题
六、二叉树的存储[代码实现]
- 6.1、链式存储
- 6.2、顺序存储
七、二叉树的遍历
- 7.1、关于二叉树遍历的选择题练习

一、什么是二叉树？

二叉树是特殊的树。一棵二叉树是结点的有限集合：（1）、结点或者为空。（2）、或者由一个根结点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二、二叉树的特点

（1）、二叉树的每个结点的度不能超过2（<=2）。
（2）、二叉树要求其每颗子树都必须为二叉树。
（3）、二叉树的子树有左右之分，左子树、右子树不能次序颠倒，二叉树是一颗有序树。
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三、二叉树的性质

（1）、若规定根结点层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1) （i > 0）个结点。（即根据公式 2 ^ (i - 1）就可以求出二叉树每层所含的结点个数）
推导过程：
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（2）、若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树所含的总结点个数为 2^k - 1（k >= 0）。
推导过程：
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（3）、对任何一颗二叉树，如果其叶结点个数为 n0，度为2的非叶子结点个数为n2，则 n0 = n2 + 1。
推导过程：
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（4）、具有n个结点的完全二叉树的深度k为log以2为底的（n+1）。
推导过程：
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（5）、对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
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四、两种特殊的二叉树

4.1、满二叉树

满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点树都达到最大值2，则这颗二叉树就是满二叉树。也就是说，一棵二叉树的层数为k，那么这颗二叉树的总结点数为（2^k）- 1，则他就是满二叉树。
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4.2、完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，是由满二叉树引出来的。对于深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从0至n-1的结点— —对应时称之为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
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五、一些关于二叉树特性的习题

（1）、若一颗二叉树的结点数为399，度为2的非叶子结点n2有199个，叶子结点n0为（）个。
A、100
B、200
C、300
D、120
由于公式 n0 = n2 + 1，因此选B。

（2）、在2n个结点的完全二叉树中，叶子结点的个数为（）。
A、n
B、n+1
C、n-1
D、n/2
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（3）、一个具有 767 个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）。
A、383
B、384
C、385
D、386

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（4）、一颗完全二叉树的结点数为 531 个，那么这棵树的高度为（B）。
A、11
B、10
C、8
D、12

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六、二叉树的存储[代码实现]

二叉树的存储结构分为：线性存储和类似于链表的链式存储。

6.1、链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的结点引用起来的，常见的表示方法有二叉和三叉表示方式， 具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
	int val; // 结点的值
	Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整颗左子树
	Node right;// 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整颗右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}