ICCV 1998

1995年，Aurich和Weule提出一种非线性高斯滤波器，三年后，Tomasi和Manduchi将其用于图像平滑，并将其命名为双边滤波。

• Aurich, V., & Weule, J. (1995). Non-linear Gaussian filters performing edge preserving diffusion. In Proceedings of the DAGM symposium
• Tomasi, C., & Manduchi, R. (1998). Bilateral filtering for gray and color images. In Proceedings of the international conference on computer vision (pp. 839–846). New York: IEEE Press

基本思路

在1995年这篇ICCV的论文中，首先给出了传统的域滤波和范围滤波的变换形式

$$\begin{gathered} h_d(\vec{x})=k_d^{-1}(\vec{x}){\iint }_{}f(\vec{\xi })c(\vec{\xi },\vec{x})\mathrm{d}\vec{\xi } \\ {h}_r(\vec{x})=k_r^{-1}(\vec{x})\iint f(\vec{\xi })s(f(\vec{\xi }),f(\vec{x}))\mathrm{d}\vec{\xi } \end{gathered}$$

其中$\vec{\xi }$是$\vec{x}$邻域中的某个像素点，$f$为某像素点的强度，$c(\vec{\xi },\vec{x})$是$x$和$\xi$的空间临近度(geometric closeness)；$s(f(\vec{\xi }),f(\vec{x}))$为颜色相似度(photometric similarity)。$k_d,k_r$为滤波过程中用于归一化的直流分量

$$k_d(\vec{x})=\iint c(\vec{\xi },\vec{x})\mathrm{d}\xi ,k_r(\vec{x})=\iint s(\vec{\xi },\vec{x})\mathrm{d}\vec{\xi }$$

文中给出的二重积分的范围是$\pm \infty$，但实际上可能仅仅局限在$x$的邻域内，故而这里并未著明上下标。

将这两个滤波过程合并在一起，即可得到双边滤波的一个抽象形式

$$\begin{array}{rl}h(\vec{x})& =k^{-1}(\vec{x})\iint f(\vec{\xi })c(\vec{\xi },\vec{x})s(f(\vec{\xi }),f(\vec{x}))\mathrm{d}\vec{\xi }\\ k(\vec{x})& =\iint c(\vec{\xi },\vec{x})s(f(\vec{\xi }),f(\vec{x}))\end{array}$$

双边高斯滤波

在这个抽象形式中，$c,s$这两个函数都是待定义的，文中给出了高斯形式的双边滤波

$$\begin{gathered} c(\vec{\xi },\vec{x})=\exp \left[-\frac{1}{2}\frac{d(\vec{\xi },\vec{x})}{{\sigma }_d}\right],d(\vec{\xi },\vec{x})=\Vert \vec{\xi }-\vec{x}\Vert \\ s(\vec{\xi },\vec{x})=\exp \left[-\frac{1}{2}\frac{\delta (f(\vec{\xi }),f(\vec{x}))}{{\sigma }_r}\right],\delta (f_1,f_2)=|f_1-f_2| \end{gathered}$$

当${\sigma }_d,{\sigma }_r$取值不同时，其处理效果如下