优化算法（一）—遗传算法（Genetic Algorithm）附MATLAB程序

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种启发式搜索算法，用于寻找复杂优化问题的近似解。它模拟了自然选择和遗传学中的进化过程，主要用于解决那些传统算法难以处理的问题。

遗传算法的基本步骤：

初始化种群（Initialization）：生成一个由多个个体组成的初始种群。每个个体代表一个可能的解，通常以编码形式（如二进制字符串）表示。
评估适应度（Fitness Evaluation）：对种群中的每个个体进行评估，计算其适应度值。适应度函数用于衡量个体解的质量。
选择操作（Selection）：根据适应度值选择个体进行繁殖。常见的选择策略包括轮盘赌选择、锦标赛选择等。高适应度的个体更有可能被选中。
交叉操作（Crossover）：将选择的个体进行交叉，生成新的个体。交叉操作模拟基因重组，以期产生更优的解。常见的交叉方式有单点交叉、多点交叉等。
变异操作（Mutation）：对新个体进行随机变异，以引入多样性并防止早期收敛。变异操作改变个体的一部分基因，增加探索解空间的能力。
替换操作（Replacement）：用新生成的个体替换种群中的部分个体，形成新的种群，进入下一代。
终止条件（Termination）：检查是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或解的适应度达到预设阈值。如果满足终止条件，算法结束；否则，返回第2步。

一、遗传算法基本原理

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种模拟自然选择和遗传学原理的优化算法。其基本原理可以从生物学中的自然选择和遗传学的机制中得到启发。下面是遗传算法的基本原理及其关键组件：

自然选择：自然选择是生物进化的核心机制之一。在遗传算法中，这种机制通过评估每个个体的适应度，决定哪些个体将被选中进行繁殖。适应度较高的个体更可能被选择，这样可以逐渐优化解的质量。
遗传学：遗传学机制在遗传算法中体现在交叉（Crossover）和变异（Mutation）操作上。交叉操作模拟了基因的重组，而变异操作则引入了基因的随机变化。这两个操作共同作用，产生新的个体，增加种群的多样性，并探索解空间中的新区域。

二、遗传算法公式推导

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）的核心在于模拟自然选择和遗传学原理来寻找最优解。虽然遗传算法并没有单一的数学公式来描述其整体工作过程，但我们可以通过一些基本的公式和推导来理解其主要操作。这些公式包括适应度计算、选择概率、交叉操作和变异操作。

2.1适应度函数（Fitness Function）

适应度函数 F(x)用于评价个体 x 的质量。对于最大化问题，适应度函数通常直接等于目标函数值：

$F\left ( x \right )=f\left ( x \right )$

对于最小化问题，可以将适应度函数定义为目标函数的负值：

$F\left ( x \right )=-f\left ( x \right )$

2.2选择操作（Selection)

选择操作根据个体的适应度确定其被选择的概率。最常见的选择方法是轮盘赌选择。选择概率 $p_{_{i}}$ 可以通过以下公式计算：

(1)轮盘赌选择

假设种群中有 N个个体，第 i个个体的适应度为 $F_{i}$ ，则个体 i 被选择的概率 $p_{i}$ 是：

其中，分母是所有个体适应度的总和，确保选择概率之和为 1。

(2)锦标赛选择

锦标赛选择通过在种群中随机选择 k 个个体进行竞争，并选择适应度最好的个体。假设在锦标赛中选择的 k 个体的适应度为 $F_{i1},F_{i2},\cdots ,F_{ik}$ ，则选择概率可以定义为：

2.3交叉操作（Crossover）

交叉操作生成新的个体。常见的交叉方法是单点交叉。

单点交叉

假设有两个父代个体 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ ，其基因序列分别为：

$P_{1}=\left [ G_{1} ,G_{2},\cdots ,G_{k} \right ]| P_{2}=\left [ {G}'_{1} ,{G}'_{2},\cdots ,{G}'_{k} \right ]$

选择一个交叉点 c（假设 $1\leq c< k$ ），交叉操作会生成两个子代：

$C_{1}=\left [ G_{_{1}} ,G_{2},\cdots ,{G}'_{c},{G}'_{c+1},\cdots ,{C}'_{k}\right ]C_{2}=\left [ {G}'{_{1}} ,{G}'_{2},\cdots ,G_{c},G_{c+1},\cdots ,C_{k}\right ]$

多点交叉

选择多个交叉点 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{m}$ ，然后在这些点之间交换基因。

2.4变异操作（Mutation）

变异操作通过对个体的基因进行随机修改来引入多样性。以下是几种常见的变异方法及其公式推导。

2.4.1二进制编码的变异

对于二进制编码的个体，变异操作通常通过翻转基因位来实现。例如，个体的基因序列为 $G=\left [ g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k} \right ]$ ，其中每个基因位 $g_{i}$ 是 0 或 1。

变异方法：

对于每个基因位 $g_{i}$ ，以变异概率 $p_{m}$ 翻转该基因位：

这里 ${g}'_{i}$ 是变异后的基因位。

2.4.2实数编码的变异

对于实数编码的个体，变异操作可以通过在基因值上添加随机扰动来实现。例如，个体的基因序列为 $G=\left [ g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k} \right ]$

变异方法：

对于每个基因 $g_{i}$ ，以变异概率 $p_{m}$ 在其值上添加一个随机扰动 $\delta$ ：

其中 $\sigma$ 是控制变异范围的参数， $\delta$ 是从均匀分布中抽取的随机扰动。

2.5替换操作（Replacement）

替换操作决定如何将新生成的个体替换种群中的旧个体。虽然没有固定的数学公式，但常见的替换策略包括全替换和部分替换。

2.5.1全替换

将整个种群替换为新生成的个体：

2.5.2部分替换

选择种群中最适应的个体保留，而将其他个体替换为新生成的个体：

$New population=\left ( Old Population -Worst Individuala \right )\bigcup Offspring Population$

2.6小结：

遗传算法中的核心操作包括适应度评估、选择、交叉和变异。每个操作都有其基本的公式和计算方法：

适应度函数：评价个体的质量。
选择操作：确定个体进入下一代的概率，轮盘赌选择和锦标赛选择为常用方法。
交叉操作：生成新个体，通过交换基因组合来探索解空间。
变异操作：引入基因变化，通过随机扰动或翻转基因来增加多样性。
替换操作：更新种群，保证适应度较高的个体保留。

这些操作结合在一起，使遗传算法能够模拟自然进化过程，并有效地搜索优化问题的解空间。

三、MATLAB仿真程序

编写遗传算法（Genetic Algorithm, GA）在MATLAB中的仿真程序可以帮助你更好地理解和实现遗传算法。下面是一个基本的MATLAB遗传算法示例，它可以解决一个简单的优化问题，例如找到函数 $f\left ( x \right )=x^{2}$ 的最小值。我们将使用二进制编码来表示个体，并实现选择、交叉、变异以及适应度评估等操作。MATLAB仿真代码如下：

% 遗传算法基本参数设置
populationSize = 20;  % 种群大小
geneLength = 10;      % 基因长度（对应于二进制编码的位数）
crossoverRate = 0.8;  % 交叉率
mutationRate = 0.1;   % 变异率
maxGenerations = 50;  % 最大迭代代数

% 适应度函数（目标函数）
fitnessFunction = @(x) x.^2;  % 目标是最小化x^2

% 初始化种群
population = randi([0, 1], populationSize, geneLength);

% 主循环：迭代遗传算法
for generation = 1:maxGenerations
    % 解码：将二进制编码转化为实际值
    decodedPopulation = bin2dec(num2str(population)) / (2^geneLength - 1) * 10; % 假设取值范围为[0, 10]
    
    % 计算适应度
    fitnessValues = fitnessFunction(decodedPopulation);
    
    % 选择：轮盘赌选择
    selectionProbabilities = (1 ./ (fitnessValues + 1)); % 使用适应度的倒数进行选择
    selectionProbabilities = selectionProbabilities / sum(selectionProbabilities);
    
    % 生成新种群
    newPopulation = zeros(size(population));
    for i = 1:populationSize/2
        % 选择父代
        parents = randsample(1:populationSize, 2, true, selectionProbabilities);
        parent1 = population(parents(1), :);
        parent2 = population(parents(2), :);
        
        % 交叉操作
        if rand < crossoverRate
            crossoverPoint = randi([1, geneLength-1]);
            child1 = [parent1(1:crossoverPoint), parent2(crossoverPoint+1:end)];
            child2 = [parent2(1:crossoverPoint), parent1(crossoverPoint+1:end)];
        else
            child1 = parent1;
            child2 = parent2;
        end
        
        % 变异操作
        if rand < mutationRate
            mutationPoint = randi(geneLength);
            child1(mutationPoint) = 1 - child1(mutationPoint);
        end
        if rand < mutationRate
            mutationPoint = randi(geneLength);
            child2(mutationPoint) = 1 - child2(mutationPoint);
        end
        
        % 将子代添加到新种群
        newPopulation(2*i-1, :) = child1;
        newPopulation(2*i, :) = child2;
    end
    
    % 更新种群
    population = newPopulation;
    
    % 解码并显示当前种群中最优解
    decodedPopulation = bin2dec(num2str(population)) / (2^geneLength - 1) * 10;
    [~, bestIndex] = min(fitnessFunction(decodedPopulation));
    bestSolution = decodedPopulation(bestIndex);
    disp(['Generation: ', num2str(generation), ', Best Solution: ', num2str(bestSolution), ', Fitness: ', num2str(fitnessFunction(bestSolution))]);
end

代码解释

参数设置：
- populationSize: 种群大小。
- geneLength: 每个个体的基因长度（即二进制编码的位数）。
- crossoverRate: 交叉操作的概率。
- mutationRate: 变异操作的概率。
- maxGenerations: 最大迭代次数。
适应度函数：
- 使用目标函数 fitnessFunction 来计算个体的适应度。在本例中，目标是最小化函数 $f\left ( x \right )=x^{2}$ 。
初始化种群：
- 随机生成初始种群，每个个体由二进制编码表示。
主循环：
- 解码：将二进制编码转化为实际值。
- 计算适应度：根据目标函数计算每个个体的适应度。
- 选择：使用轮盘赌选择算法选择父代个体。
- 交叉：通过交叉操作生成子代个体。
- 变异：对子代个体进行随机变异。
- 更新种群：用新生成的个体替换旧种群。
显示结果：
- 在每一代中显示当前最优解及其适应度值。