【数据结构与算法】巧用位运算

位运算的巧思

总结来源：分享｜从集合论到位运算，常见位运算技巧分类总结！

用位运算来求集合公式

术语：

• 与：& 11为1 ，其余为0
• 或：| 有1为1， 00为0
• 异或：⊕（^） 相异为1， 相同为0
• 反：~ 按位取反

用位移求集合公式

术语：

• 左移<<：低位补零，相当于乘以$2^i$
• 右移>>: 高位补零，相当于除以$2^i$

补充说明，在使用集合和位运算的过程中，我们需要明确，它们是如何一一对应的。

假设我们有一个不包含相同元素的数组，大小为32。

1. 如果全部元素都已经选中，则其表示的集合当为全集——(1 << 32) -1

因为这样我们会得到32个1，1代表该index的元素已被选中。

2. 现在我们根据某规则从其中已经挑选一些元素，现在仍需继续挑选一些元素，假设已挑选的集合为s

   我们判断index 为 i的元素是否被选中，可以使用(s >> i) & 1 == 1进行判断，其原理是把i位的元素右移到末尾，相与计算是否被选中。

其余计算巧思见下图

二进制库函数

注意，当s = 0时，对以下API可能属于未定义行为

对C++ 的 long long，需使用__builtin_popcountll，即函数名后添加ll（小写L）

位扩展：基础例题

• LeetCode 78 组合：
  不含重复值的整数数组的所有子集
• 核心代码：

def subsets(self, nums):
    '''
    位扩展写法:把新的元素依次加到前面的结果集里
            组成新的集合再加入结果集
    注意:不要超过本轮的结果集
    '''
    res = [[]]
    for value in nums:
        long = len(res)
        for pos in range(long):
            temp = copy.deepcopy(res[pos])
            temp.append(value)
            res.append(temp)
    return res

例题LC190——用到左移和或运算

uint32_t reverseBits(uint32_t n)
    {
        uint32_t rev = 0;
        for (int i = 0; i < 32 && n > 0; ++i)
        {
            // n&1使用的是n的末尾与1相与，末位为1则为1
            // |= 有1为1，全0为0
            // 这里相当于，不断把n的低位数传到rev未定义的高位
            rev |= (n & 1) << (31 - i);
            /*
            如：
            n = 00000010100101000001111010011100
            i = 0
            n&1 = 0
            31-i = 31
            (n&1)<<(31-i)得到的是
            0(这是当前匹配的结果0)【因为是左移，后面补31个0】
            形象点就是把n的末尾直接传送到了rev的最高位。
            也就是这个循环的意义。
            */
            // 去掉已经传递的末尾
            n >>= 1;
        }
        return rev;
    }

异或

基本概念：如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。

运算法则

在C++中用^符号表示异或，可以用异或交换两个数

void swap(int &a, int &b){
    a = a^b;
    b = b^a;	//b = b^a^b  = a
    a = a^b;	// a = a^b^a = b
}

经典例题：LC136 唯一数