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Bellman_ford 算法精讲

思路

什么叫做松弛

模拟过程

方法一： Bellman_ford算法

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Bellman_ford 算法精讲

• 题目链接：卡码网：94. 城市间货物运输 I

• 文章讲解：代码随想录 

某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。

网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。

权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。

请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。

如果最低运输成本是一个负数，它表示在遵循最优路径的情况下，运输过程中反而能够实现盈利。

城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。

负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。

输入描述

第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。

接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v（单向图）。

输出描述

如果能够从城市 1 到连通到城市 n， 请输出一个整数，表示运输成本。如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果从城市 1 没有路径可达城市 n，请输出 "unconnected"。

输入示例：

6 7
5 6 -2
1 2 1
5 3 1
2 5 2
2 4 -3
4 6 4
1 3 5

思路

本题依然是单源最短路问题，求 从 节点1 到节点n 的最小费用。 但本题不同之处在于 边的权值是有负数了。

从 节点1 到节点n 的最小费用也可以是负数，费用如果是负数 则表示 运输的过程中 政府补贴大于运输成本。

在求单源最短路的方法中，使用dijkstra 的话，则要求图中边的权值都为正数。

我们在 dijkstra朴素版 中专门有讲解：为什么有边为负数 使用dijkstra就不行了。

本题是经典的带负权值的单源最短路问题，此时就轮到Bellman_ford登场了，接下来我们来详细介绍Bellman_ford 算法 如何解决这类问题。

该算法是由 R.Bellman 和L.Ford 在20世纪50年代末期发明的算法，故称为Bellman_ford算法。

Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路。

什么叫做松弛

看到这里，估计大家都比较晕了，为什么是 n-1 次，那“松弛”这两个字究竟是个啥意思？

我们先来说什么是 “松弛”。

《算法四》里面把这个操作叫做 “放松”， 英文版里叫做 “relax the edge”

所以大家翻译过来，就是 “放松” 或者 “松弛” 。

但《算法四》没有具体去讲这个 “放松” 究竟是个啥？ 网上很多题解也没有讲题解里的 “松弛这条边，松弛所有边”等等 里面的 “松弛” 究竟是什么意思？

这里我给大家举一个例子，每条边有起点、终点和边的权值。例如一条边，节点A 到 节点B 权值为value，如图：

minDist[B] 表示 到达B节点 最小权值，minDist[B] 有哪些状态可以推出来？

状态一： minDist[A] + value 可以推出 minDist[B] 状态二： minDist[B]本身就有权值 （可能是其他边链接的节点B 例如节点C，以至于 minDist[B]记录了其他边到minDist[B]的权值）

minDist[B] 应为如何取舍。

本题我们要求最小权值，那么 这两个状态我们就取最小的

if minDist[B] > minDist[A] + value: 
    minDist[B] = minDist[A] + value

也就是说，如果 通过 A 到 B 这条边可以获得更短的到达B节点的路径，即如果 minDist[B] > minDist[A] + value，那么我们就更新 minDist[B] = minDist[A] + value ，这个过程就叫做 “松弛” 。

以上讲了这么多，其实都是围绕以下这句代码展开：

if minDist[B] > minDist[A] + value:
    minDist[B] = minDist[A] + value

这句代码就是 Bellman_ford算法的核心操作。

以上代码也可以这么写：minDist[B] = min(minDist[A] + value, minDist[B])

如果大家看过代码随想录的动态规划章节，会发现 无论是背包问题还是子序列问题，这段代码（递推公式）出现频率非常高的。

其实 Bellman_ford算法 也是采用了动态规划的思想，即：将一个问题分解成多个决策阶段，通过状态之间的递归关系最后计算出全局最优解。

（如果理解不了动态规划的思想也无所谓，理解我上面讲的松弛操作就好）

那么为什么是 n - 1次 松弛呢？

这里要给大家模拟一遍 Bellman_ford 的算法才行，接下来我们来看看对所有边松弛 n - 1 次的操作是什么样的。

我们依然使用minDist数组来表达 起点到各个节点的最短距离，例如minDist[3] = 5 表示起点到达节点3 的最小距离为5

模拟过程

初始化过程。

起点为节点1， 起点到起点的距离为0，所以 minDist[1] 初始化为0

如图：

其他节点对应的minDist初始化为max，因为我们要求最小距离，那么还没有计算过的节点 默认是一个最大数，这样才能更新最小距离。

对所有边 进行第一次松弛： （什么是松弛，在上面我已经详细讲过）

以示例给出的所有边为例：

5 6 -2
1 2 1
5 3 1
2 5 2
2 4 -3
4 6 4
1 3 5

接下来我们来松弛一遍所有的边。

边：节点5 -> 节点6，权值为-2 ，minDist[5] 还是默认数值max，所以不能基于 节点5 去更新节点6，如图：

（在复习一下，minDist[5] 表示起点到节点5的最短距离）

边：节点1 -> 节点2，权值为1 ，minDist[2] > minDist[1] + 1 ，更新 minDist[2] = minDist[1] + 1 = 0 + 1 = 1 ，如图：

边：节点5 -> 节点3，权值为1 ，minDist[5] 还是默认数值max，所以不能基于节点5去更新节点3 如图：

边：节点2 -> 节点5，权值为2 ，minDist[5] > minDist[2] + 2 （经过上面的计算minDist[2]已经不是默认值，而是 1），更新 minDist[5] = minDist[2] + 2 = 1 + 2 = 3 ，如图：

边：节点2 -> 节点4，权值为-3 ，minDist[4] > minDist[2] + (-3)，更新 minDist[4] = minDist[2] + (-3) = 1 + (-3) = -2 ，如图：

边：节点4 -> 节点6，权值为4 ，minDist[6] > minDist[4] + 4，更新 minDist[6] = minDist[4] + 4 = -2 + 4 = 2

边：节点1 -> 节点3，权值为5 ，minDist[3] > minDist[1] + 5，更新 minDist[3] = minDist[1] + 5 = 0 + 5 = 5 ，如图：

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以上是对所有边进行一次松弛之后的结果。

那么需要对所有边松弛几次才能得到 起点（节点1） 到终点（节点6）的最短距离呢？

对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离。

上面的距离中，我们得到里 起点达到 与起点一条边相邻的节点2 和 节点3 的最短距离，分别是 minDist[2] 和 minDist[3]

这里有录友疑惑了 minDist[3] = 5，分明不是 起点到达 节点3 的最短距离，节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 距离才是4。

注意我上面讲的是 对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离，这里 说的是 一条边相连的节点。

与起点（节点1）一条边相邻的节点，到达节点2 最短距离是 1，到达节点3 最短距离是5。

而 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 是 与起点 三条边相连的路线了。

所以对所有边松弛一次 能得到 与起点 一条边相连的节点最短距离。

那对所有边松弛两次 可以得到与起点 两条边相连的节点的最短距离。

那对所有边松弛三次 可以得到与起点 三条边相连的节点的最短距离，这个时候，我们就能得到到达节点3真正的最短距离，也就是 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线。

那么再回归刚刚的问题，需要对所有边松弛几次才能得到 起点（节点1） 到终点（节点6）的最短距离呢？

节点数量为n，那么起点到终点，最多是 n-1 条边相连。

那么无论图是什么样的，边是什么样的顺序，我们对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。

其实也同时计算出了，起点 到达 所有节点的最短距离，因为所有节点与起点连接的边数最多也就是 n-1 条边。

截止到这里，Bellman_ford 的核心算法思路，大家就了解的差不多了。

共有两个关键点。

• “松弛”究竟是个啥？
• 为什么要对所有边松弛 n - 1 次 （n为节点个数） ？

那么Bellman_ford的解题解题过程其实就是对所有边松弛 n-1 次，然后得出得到终点的最短路径。

方法一： Bellman_ford算法

# 每个节点松弛n-1次，得到最近的距离

def main():
    n,m = map(int,input().split())

    grid = []

    for _ in range(m):
        s,t,v = map(int,input().split())
        grid.append([s,t,v])

    start = 1
    end = n
    minDist = [float('inf')] * (n+1)

    minDist[start] = 0
    for i in range(1,n):
        # Python版Bellman_ford算法，使用update及时判断min_dist停止更新的时机，直接break，不会超时。
        update = False
        for edge in grid:
            from_city = edge[0]
            to_city = edge[1]
            val = edge[2]
            if minDist[from_city] != float('inf') and val + minDist[from_city] < minDist[to_city]:
                minDist[to_city] = val + minDist[from_city]
                update = True
        if not update:
            break

    print('unconnected') if minDist[end] == float('inf') else print(minDist[end])

if __name__=="__main__":
    main()