《LEAN 赋型唯一性（Unique Typing）之 证明过程简介》 中，梳理了赋型唯一性（Unique Typing）牵涉的概念及相关推论与证明，此篇文章就先介绍 n-provability 的概念，记 ⊢ₙ 。其围绕的是赋型规则（Typing Rules）而衍生的。 

        即，表达式 e 在进行计算的过程中，赋型规则随着表达式 e 的形变，给每一步计算后的形变表达式 e‘ 进行赋型。此时，赋型规则的前提（Premises），利用归纳假设（Inductive Hypothese）提供的定义上相等关系，即 Γ ⊢ₙ α ≡ β，为其结果的赋型，即 Γ ⊢ₙ e:α，提供证明。那么就有， Γ ⊢ₙ α ≡ β   => Γ ⊢ₙ e:α => Γ ⊢ₙ₊₁ α ≡ β => ... ，归纳推演的过程（Induction Proof）。

注：形变，指的是，表达式 e 经过应用一次计算规则（reductions and conversions）后，其形态发生的变换，即计算的一步（one step of computation / normalization）。

注：该类型变换规则的唯一性，使得后面定义上反向（Defintional Inversion）的概念得以引入。

        记，

1 赋型规则 为  Γ ⊢ₙ e:α 。

2 定义上相等 为  Γ ⊢ₙ₊₁ α ≡ β  。

即 n-provability 转换规则（conversion rules）如下：

1. Γ ⊢₀ α ≡ β ↔ α = β

析：Γ ⊢₀ α ≡ β ，意味着，当 表达式 α 与 表达式 β 相同（α = β）。即，表达式 β 无须经过转化，就与 表达式 α 定义上相等（Reflexive）。

2. Γ ⊢ₙ₊₁ α ≡ β ↔ ( Γ ⊢ₙ e:α → Γ ⊢ α ≡ β )

析：Γ ⊢ₙ₊₁ α ≡ β，意味着，只使用 Γ ⊢ₙ e:α ，可以推导出 Γ ⊢ α ≡ β。即，基于定义上相等规则（Definitional Equality Rules），经过 n 次，定义上相等类型可替的转化，得到了 Γ ⊢ α ≡ β。 

3. Γ ⊢ₙ e:α  ↔ ( Γ ⊢ₘ α ≡ β, m ≤ n → Γ ⊢ e:α )

析：Γ ⊢ₙ e:α，意味着，只使用 Γ ⊢ₘ α ≡ β, m ≤ n

（包含了所有 m ≤ n 的情况，如 Γ ⊢₀ α ≡ β， Γ ⊢₁ α ≡ β，等），

可以推导出 Γ ⊢ α ≡ β。

        由此，n-provability （n ∈ ℕ），表示了，使用n-provability 转换规则（上述定义的规则）的步数。有基本步，记为 ⊢₀  ，下一步，记为 ⊢ₙ₊₁ ，对应的前一步，记为  ⊢ₙ  。

然后，分别应用于两种规则，即赋型规则（Typing Rules），记为 Γ ⊢ₙ e:α，及定义上相等规则（Definitional Equality），记为 Γ ⊢ₙ α ≡ β。

同时，上述 n-provability 转换规则 表达了 Γ ⊢ₙ e:α 与 Γ ⊢ₙ α ≡ β 的交互递归定义的关系（mutually recursive）

        注意：要注意的是，其中的 e, α, β 都可以是表达式的形态出现，即未经过规范化的（Normalization）。而规范化（normalization）的过程，就是使用对应的转化规则（conversion and reduction rules），使其行为最终的正规元素（Canonical Element ）的形态。

        一般来说，e 等小写字母用于表示值变量及其表达式，而α, β等小写希腊字母用于表示类型变量及其表达式。变量有，自由变量（Free Variable）和绑定了的变量（Bound Variable）。自由变量（Free Variable）指的是，在一个表达式中，出现的变量名，没有对应的相关信息，即不知其指向的实体（Entity），包括其定义信息（Definition），类型信息（Type），等，也就是，在一个表达式中只知道该变量的名字，其它一无所知。反之是绑定了的变量（Bound Variable），由其绑定者（binder）提供，如函数里的参数信息，全局上下文（Global Context）中的全局变量及其定义（即此处的 Γ ）等。

即：

那么：

推论（Lemma）：

即 给定 (h: m ≤ n) 和 (Γ ⊢ₘ e:α )，求 (Γ ⊢ₙ e:α)  。

亦  proof: (h: m ≤ n) → (Γ ⊢ₘ e:α ) → (Γ ⊢ₙ e:α)
       ↔ (h: m ≤ n) → (Γ ⊢ₘ e:α ) → (Γ ⊢ₘ α ≡ β, m ≤ n → Γ ⊢ e:α )
       ↔ (h: m ≤ n) → ( Γ ⊢ₘ α ≡ β, m ≤ n → Γ ⊢ e:α ) → (Γ ⊢ₘ α ≡ β, m ≤ n → Γ ⊢ e:α )

通过将 n-provability 转换规则带入对应的表达式，可以求得，即最后的表达式，A → A。

口

实则上的意思是，如果通过 少步骤 可以证明 e:α，即 (Γ ⊢ₘ e:α )，那么，通过 更多的步骤 （m ≤ n） 同样也可以证明 e:α，即 (Γ ⊢ₙ e:α)

证明同上。

意思是，如果 能够证明 (Γ ⊢ e:α )，那么，肯定存在一定的步骤数 n，从第0个基础事实开始，到第 n 步的时候，证明  (Γ ⊢ e:α )。

这里，Γ ⊢ₙ e:α  ↔ ( Γ ⊢ₘ α ≡ β, m ≤ n → Γ ⊢ e:α )，

意思同上。