数据结构(7.3_1)——二叉排序树

news2024/11/16 15:35:49

二叉排序树，又称二叉查找树(BST,Binary Search Tree)

一棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；
右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；
左子树和右子树又各是一棵二叉排序树；

左子树结点值<根结点值<右子树结点值

进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列

二叉排序树可用于元素的有序组织，搜索

二叉排序树的查找

若树非空，则目标值与根结点的值比较；
若相等，则查找成功；
若小于根结点，则在左子树上查找，否则在右子树查找；
查找成功，返回结点指针;查找失败返回NULL

例：查找关键字为30的结点

代码：

最坏空间复杂度O(1)


//二叉排序树结点
typedef struct BSTNode {
	int key;
	struct BSTNode* lchild, * rchild;
}BSTNode,*BSTree;

//在二叉排序树中查找值为key的结点
BSTNode* BST_Search(BSTree T, int key) {
	while (T != NULL && key != T->key) { //若树空或等于根结点值，则接受循环
		if (key < T->key)
			T = T->lchild;//小于，则在左子树上查找
		else
			T = T->rchild;//大于，则在右子树上查找
	}
	return T;
}

查找失败的情况：

在二叉排序树中查找值为key的结点(递归实现)

最坏空间复杂度O(h)

//在二叉排序树中查找值为key的结点(递归实现)
BSTNode* BSTSearch(BSTree T, int key) {
	if(T==NULL)
		return NULL;//查找失败
	if (key == T->key)
		return T;//查找成功
	else if (key < T->key)
		return BSTSearch(T->lchild, key);//在左子树中找
	else
		return BSTSearch(T->rchild, key);//在右子树中找
}

二叉排序树的插入

若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字k小于根结点值，则插入到左子树，若关键字k大于根结点值，则插入到右子树

//在二叉排序树中插入关键字为k的新结点(递归实现)
int BST_Insert(BSTree &T, int k) {
	if (T == NULL) {//原树为空，新插入的结点为根结点
		T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
		T->key = k;
		T->lchild = T->rchild = NULL;
		return 1;//返回1，插入成功
	}
	else if (k == T->key)//树中存在相同关键字的结点，插入失败
		return 0;
	else if (k < T->key)//插入到T的左子树
		return BST_Insert(T->lchild, k);
	else//插入到T的左子树
		return BST_Insert(T->rchild, k);
}

注意：新插入的结点一定是叶子结点

最坏空间复杂度O(h)

非递归插入

int BST_Insert(BSTree& T, int k) {
	while (T!= NULL) { // 当找到空位置时停止循环
		if (k < T->key) {
			T = T->lchild; // 移动到左孩子
		}
		else if (k > T->key) {
			T = T->rchild; // 移动到右孩子
		}
		else {
			// 如果键值已存在，不插入，返回0
			return 0;
		}
	}
	// 创建新节点并插入到找到的位置
	T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
	if (T== NULL) { // 内存分配失败
		return 0;
	}
	T->key = k;
	T->lchild = T->rchild = NULL;
	return 1; // 插入成功

二叉排序树的构造

例题：

//按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树
void Creat_BST(BSTree& T, int str[], int n) {
	T = NULL;//初始T为空树
	int i = 0;
	while (i < n) {//依次将每个关键字插入到二叉排序树中
		BST_Insert(T, str[i]);
		i++;
	}
}