第309题｜证明函数单调有界的核心思路

第309题｜证明函数单调有界的核心思路｜武忠祥老师每日一题

news2024/12/27 15:59:40

解题思路：两个极限存在准则：1.夹闭。 2.单调有界。

这里题目告诉了我们f(x)的导数,如果我们判断出了导数的正负，就能得出f（x）的单调性。

显然是大于0的，看后半部分:是否大于0，这里直接比较和的大小即可；

这里要用到这样一个不等式：,显然是大于的，大于0；f(x)单调递增。

接着证明f(x)有界，如何通过f'(x)来估f(x)呢，常用的是拉格朗日中值定理，f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，

显然这么做比较困难，还有另外一种联系f(x)和f'(x)的方式就是：牛顿莱布尼茨公式：

,直接把f'(x)带入进去。

如图所示，经过四次放大：
第一次放大：<1, $\frac{1}{1+f2(x)}<1$ ,直接忽略不计。
第二次放大： $\frac{1}{1+x}=\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}<ln (1+\frac{1}{x})$ ，

得到

这里可以看作是原函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ,利用拉格朗日中值定理， $\sqrt{\frac{1}{t}}-\sqrt{\frac{1}{1+t}}=f(t)-f(1+t)=f'(\xi )(t-1-t)=-f'(\xi )=\int_{1}^{x}\frac{1}{2\sqrt{\xi ^{3}}}dt$

第三次放大：

因为中值 $\xi$ 是在t和t+1之间的值，所以可以再次进行放大： $\int_{1}^{x}\frac{1}{2\sqrt{\xi ^{3}}}dt<\int_{1}^{x}\frac{1}{2\sqrt{t ^{3}}}dt$ ,

第四次放大：

显然 $\int_{1}^{x}\frac{1}{2\sqrt{t ^{3}}}dt<\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{2\sqrt{t ^{3}}}dt$ ,这是一个无穷级数的反常积分，也就是p积分，p=3/2>1是收敛的。

f(x)-f(1)不超过这个值，f(1)存在是一个有限的数，单调且有界，极限存在。

知识点：

1.两个极限存在准则：1.夹闭。 2.单调有界。

2.不等式：

3.联系f'(x)和f(x)的两个公式：

拉格朗日中值定理，f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

牛顿莱布尼茨公式：,

4.无穷级数的反常积分(p积分)：

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