c++修炼之路之AVL树与红黑树

news2024/11/10 7:40:09

一：AVL树

1.AVL树的概念

2.AVL树插入数据后平衡因子及更新的情况

3.AVL树节点的定义

4.AVL树的插入及旋转

二：红黑树

1.红黑树的概念及性质

2.红黑树节点的定义

3.红黑树的插入操作情况

4.红黑树与AVL树的比较

接下来的日子会顺顺利利，万事胜意，生活明朗-----------林辞忧

一：AVL树

1.AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右
子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均
搜索长度。

AVL树满足的性质：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) (平衡因子=右子树高度-左子树高度)

3. 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)

2.AVL树插入数据后平衡因子及更新的情况

插入节点时，会影响部分祖先节点的平衡因子，此时就需要更新平衡因子

插入在左树，平衡因子-- 插入在右树，平衡因子++

此时就需要考虑是否继续往上更新祖先，要看当前节点的parent节点所在子树的高度是否发生变化

3.AVL树节点的定义

template<class K,class V>
class AVLTreeNode
{
public:
	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
private:
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int bf;//平衡因子
};

4.AVL树的插入及旋转

旋转的原则:保持搜索树的规则;控制平衡，降低高度

对于AVL树的旋转分为四种情况:

1.新节点插入较高右子树的右侧---左单旋(单纯右边高)

abc是高度为h(h>=0)的AVL子树

这里画的是抽象图，为了方便理解，这里可以画一些具象图

2.新节点插入较高左子树的左侧--右单旋(单纯左边高)

3.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

具象图分析：

4.新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

二：红黑树

1.红黑树的概念及性质

1.红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或
Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的

2.红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 (一条路径中没有连续的红色节点)
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点(每条路径的黑色节点数量是相等的)
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点(NIL节点))

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点
个数的两倍

此时考虑极端情况: 最短路径为全黑(高度为h),最长路径为一黑一红(高度为2*h),

一定满足最短路径*2>=最长路径，其它的情况下都是满足最短路径*2>最长路径

但在实际当中最短路径和最长路径不一定存在

2.红黑树节点的定义

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
	{}
};

对于这里新插入节点的颜色是给红色的，给黑色的话，就会违反性质4，并且会更麻烦，而给红色的话，可能会违反性质3，但通过调整就可以改变