1. 传递性

       如果 a 能被 b 整除，且 b 能被 c 整除（记作 a∣b 和 b∣c），则 a 能被 c 整除（记作 a∣c）。

2. 线性组合

       如果 a∣b 且 a∣c，则对于任意整数 x 和 y，都有 a∣(bx+cy)。这个性质在模运算和同余式中非常有用。

3. 最小公倍数与最大公约数

• 最大公约数（GCD）：如果 d∣a 且 d∣b，则称 d 是 a 和 b 的公约数。在所有这样的 d 中，存在一个最大的，称为 a 和 b 的最大公约数，记作 gcd(a,b)。
• 最小公倍数（LCM）：如果 m 是 a 和 b 的公倍数，则称 m 是 a 和 b 的公倍数。在所有这样的 m 中，存在一个最小的，称为 a 和 b 的最小公倍数，记作 lcm(a,b)。
• 重要性质：gcd(a,b)⋅lcm(a,b)=∣ab∣（注意这里 a 和 b 不必都是正数，但结果取绝对值）。

4. 互质

       如果 gcd(a,b)=1，则称 a 和 b 互质。互质的两个数在密码学和数论中有许多重要的应用。

5. 唯一分解定理

       任何大于1的自然数 n 都可以唯一地分解为有限个素数的乘积，即 n=p1e1​​p2e2​​⋯pkek​​，其中 p1​,p2​,…,pk​ 是素数，且 e1​,e2​,…,ek​ 是正整数。这个定理是数论和信息安全领域许多定理和算法的基础。

6. 整除与模运算

• 如果 a∣b，则对于任意整数 k，都有 a∣(b+ka)。
• 模运算：如果 a∣b，则对于任意整数 n，都有 b≡0(moda)。反之，如果 b≡0(moda)，则 a∣b。

7. 欧拉定理与费马小定理

• 欧拉定理：如果 a 和 n 是互质的正整数，且 ϕ(n) 是欧拉函数（小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目），则 aϕ(n)≡1(modn)。
• 费马小定理：如果 p 是一个素数，且 a 不是 p 的倍数，则 ap−1≡1(modp)。费马小定理是欧拉定理在 n 为素数时的特殊情况。

 结语

愿你历尽千帆

归来仍是少年

！！！