AI基础 L17 Logic Agents II

news2024/9/21 4:31:16

Logic in General

• Logics are formal languages for representing information such that conclusions can be drawn
• Syntax defines the sentences in the language
• Semantics define the “meaning” of sentences;
i.e., define truth of a sentence in a world
• E.g., the language of arithmetic
x + 2 ≥ y is a sentence;
x2 + y > is not a sentence
x + 2 ≥ y is true iff the number x + 2 is no less than the number y
x + 2 ≥ y is true in a world where x = 7

逻辑（Logics）

逻辑是一组规则和结构，用于表达和推理关于世界状态的信息。逻辑系统提供了一种方法来表述和分析陈述，并基于这些陈述得出结论。

例如，在命题逻辑中，一个常见的逻辑是：推导

如果 P 并且 Q，那么 P 蕴含 Q。

这意味着如果 P 为真，并且 Q 为真，那么 P 蕴含 Q 也必须为真。

语法（Syntax）

语法定义了逻辑中句子的结构和形式。它规定了句子的组成部分、它们如何组合以及哪些组合是有效的句子。语法确保了句子的结构是正确的，但不涉及句子的实际含义或内容。

例如，在英语中，一个简单的句子可以有主语和谓语：规则

主语（Subject）：John
谓语（Predicate）：plays football

组合起来就是一个语法上有效的句子：“John plays football.”

语义（Semantics）

语义定义了句子的“意义”，即句子在现实世界中的真值。它描述了句子在特定情境或世界状态下的有效性。语义确保了句子的内容和表述方式是相关的，并且有意义。

例如，在模态逻辑中，一个句子可以有真值，这取决于特定的世界状态：意思

如果 P 在世界 w 中为真，那么句子 “It is possible that P” 在逻辑上为真。

这意味着如果 P 在某个世界 w 中为真，那么句子 “It is possible that P” 也为真。

Entailment

• Entailment means that one thing follows from another:
K B |= α
• Knowledge base K B entails sentence α
if and only if
α is true in all worlds where K B is true
• E.g. the K B containing “Arsenal won” and “Chelsea won”
entails “Either Arsenal won or Chelsea won”
E.g., x + y = 4 entails 4 = x + y
• Entailment is a relationship between sentences (i.e. syntax) that is based on semantics

蕴含（Entailment）

蕴含是指一个句子（或命题）从另一个句子（或命题）中推导出来的关系。如果一个知识库（KB）蕴含一个句子 α，那么 α 必须在所有 KB 为真的世界中都为真。

表示：
- K B |= α 表示知识库 K B 蕴含句子 α。
关系：
- K B |= α 成立当且仅当 α 在所有 K B 为真的世界中都是真的。

示例

Arsenal won 和 Chelsea won：
- 如果知识库包含“Arsenal won”和“Chelsea won”，那么根据这些信息，我们可以推断出“Either Arsenal won or Chelsea won”（要么阿森纳赢了，要么切尔西赢了）。这是因为如果两个队伍都赢了，那么这个结论就是真的。
x + y = 4 和 4 = x + y：
- 这两个句子在数学上是等价的，因为它们表达的是同一个数学事实。所以，如果 x + y = 4 成立，那么 4 = x + y 也必须成立。

蕴含的性质

蕴含是一种基于语义的关系，它存在于句子之间（即语法结构），并基于句子的意义。这意味着蕴含不仅仅取决于句子的结构，还取决于它们所表达的信息。

Models

• We say m is a model of a sentence α if α is true in m
• M (α) is the set of all models of α
• Then K B |= α if and only if M (K B) ⊆ M (α)

Entailment in the Wumpus World

Truth tables for inference 2**7 = 128 lines

Inference by Enumeration

• Depth-first enumeration of all models is sound and complete
• Procedure is also linear on the number of models

• Unfortunately O(2n) for n symbols;
• Problem is co-NP-complete 这意味着任何 NP 问题都可以在多项式时间内转换为这个方法的问题

Forward and backward chaining

• Horn Form (restricted)
K B = conjunction of Horn clauses
• Horn clause =
— proposition symbol; or
— (conjunction of symbols) ⇒ symbol
E.g., C ∧ (B ⇒ A) ∧ (C ∧ D ⇒ B)
• Modus Ponens (for Horn Form): complete for Horn KBs

• Can be used with forward chaining or backward chaining. These algorithms are very natural and run in linear time

Forward Chaining

从现有信息 A B开始推导直到推到到结论Q

Backward chaining

• Idea: work backwards from the query q
• To prove q by BC:
— check if q is known already, or
— prove by BC all premises of some rule concluding q
• Avoid loops: check if new subgoal is already on the goal stack
• Avoid repeated work: check if new subgoal
1 has already been proved true, or
2 has already failed

• Essentially And-Or search:
— initial state = query
— goal state = KB
— actions = clauses
— states = models of KB
— if a plan exists q is true
(plan contains the inference steps)

AND-OR Graph Search

从结论开始出发逆向推导直到支持结论的事实或规则

Forward vs. backward chaining

• FC is data-driven, cf. automatic, unconscious processing,
e.g., object recognition, routine decisions
— May do lots of work that is irrelevant to the goal
• BC is goal-driven, appropriate for problem-solving,
e.g., Where are my keys? How do I get into a PhD program?
— Complexity of BC can be much less than linear in the size of the KB