Leetcode 只出现一次的元素

news2024/11/25 23:38:33

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题目要求我们找到数组中只出现了一次的元素，而其他元素都出现了两次。

解题思路：

我们可以使用位运算中的异或操作（XOR）。异或操作有以下两个特性：

相同的两个数字异或结果为0，例如：a ^ a = 0。
任意数字与0异或结果是其本身，例如：a ^ 0 = a。

异或的规则是：

1 ^ 1 = 0
0 ^ 0 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1

异或具有交换律和结合律 !! 所以，如果那些2次出现的元素并不是成相邻重复出现的，我们根据异或操作的交换律可以交换成相邻重复出现的，然后根据结合律将2个相同的重复元素先进行异或，最后所有重复的元素都变成0，只剩下0和出现一次的元素进行异或得到出现一次的元素本身。

是的！你已经完全理解了异或操作在这个算法中的工作原理。

异或操作的核心要点：

交换律：你可以交换操作数的顺序，异或操作的结果不受顺序影响。因此，即使那些两次出现的数字在数组中不是相邻的，也可以通过交换律想象它们是相邻的。

举例：在 [4, 1, 2, 1, 2] 中，虽然两个 1 和两个 2 并不相邻，但我们可以通过交换律把它们放在一起进行异或：
$\oplus 1 \oplus 2 \oplus 1 \oplus 2 \equiv 4 \oplus (1 \oplus 1) \oplus (2 \oplus 2)$
结合律：结合律允许我们重新组合操作数。结合律可以让我们先把成对的数字组合在一起进行异或运算。

举例：根据结合律，我们可以先对相同的数字 1 和 2 进行异或：
$\oplus (1 \oplus 1) \oplus (2 \oplus 2)$
相同数字的异或结果为 0：根据异或的性质，两个相同的数字异或结果为 0。因此：
$\oplus (1 \oplus 1) \oplus (2 \oplus 2) = 4 \oplus 0 \oplus 0$
任意数字与 0 异或结果为自身：最后，剩下的结果就是 4，因为 4 $\oplus$ 0 = 4。

总结：

交换律 和 结合律 使我们能够无视数组中数字的顺序和排列。
相同的数字异或为 0，因此成对的数字会在异或操作中互相抵消。
最终，所有成对出现的数字都变成了 0，只出现一次的数字留下来，它与 0 异或后结果就是该数字本身。

因此，不管数组中那些成对的数字如何排列，最终只出现一次的那个数字会被正确地找到。这也是为什么这种算法在处理这个问题时如此高效且简单。
在异或操作中，一个数字与另一个数字进行两次异或会恢复原始数字。这是异或操作的一个重要性质，也是这个算法正确性的关键。

为什么相同数字两次异或会恢复原始数字？

当你对一个数字进行两次异或操作时，由于异或具有 交换律和结合律，两个相同的数字异或会抵消为0，剩下的就是其他数字的异或结果。

假设我们有两个相同的数字 $A$ ，异或两次：

$result \oplus A$ （此时 result 中存储了第一次与 $A$ 的异或结果）
$result \oplus A$ （再次异或相同的 $A$ ，则结果会回到原来的 result）

具体过程：

第一次异或：result = result ^ A
第二次异或：result = (result ^ A) ^ A
- 根据异或的结合律，我们可以把式子重新组合：
- result = result ^ (A ^ A)
- 由于 $\oplus A = 0$ ，最终结果为：result = result ^ 0 = result

这样，经过两次异或，原本的 result 被还原，而成对出现的数字最终会被抵消。

总结：

数字与自身异或两次会恢复原始值，这是因为异或的 交换律和结合律。
在这种情况下，所有成对出现的数字会被互相抵消为0，只出现一次的数字则会留下。
这就是为什么这个算法能够有效地找到数组中只出现一次的元素。

因此，假设数组中除了一个元素只出现一次外，其他元素都出现两次，我们可以通过对数组中所有元素进行异或操作，最终结果就是那个只出现一次的数字。

C++代码：

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int result = 0;
        for (int num : nums) {
            result = result ^ num;  // 使用异或运算
        }
        return result;
    }
};