3. 函数极限与连续函数

3.2 连续函数

【Riemann（黎曼）函数】$R(x)=\{\begin{array}{cc}0& ,x是无理数\\ \frac{1}{p}& ,x=\frac{q}{p},p\in {\mathbb{N}}^{+},q\in \mathbb{Z}且q\ne 0,p与q互质\\ 1& ,x=0\end{array}$，（$x=0$可以写成$\frac{0}{1}$,$x=1$可以写成$\frac{1}{1}=1,R(1)=R(\frac{1}{1})=\frac{1}{1}=1$，$x=2，R(2)=R(\frac{2}{1})=\frac{1}{1}=1$，整数点都是1，这是为了保持周期性，在$x$是整数点，它的值都是1，而在$(0,1)$内，其图像如下，它是以1为周期的函数，在$(1,2)...$内同理）

，证明：$\forall x_0\in (-\infty ,+\infty ),\underset{x\to x_0}{\lim }R(x)=0$，即$R(x)$在一切无理点连续，在有理点不连续。
【证】由$R(x)$具有周期性，周期为1，只考虑$[0,1]$当中的点
$\forall x_0\in [0,1]$，即证明$\underset{x\to x_0}{\lim }R(x)=0$
在$[0,1]$中，分母为1的数$\frac{0}{1},\frac{1}{1}$
分母为2的数$\frac{1}{2}$
分母为3的数$\frac{1}{3},\frac{2}{3}$
…
分母为$k,k\in {\mathbb{N}}^{+}$的数至多$k$个
对任意的正整数$k$，$[0,1]$分母小于等于（陈老师视频一开始说错了，后来改正了）$k$的有理数至多有限个，即就是有限个。
$\forall \epsilon >0$，找$\delta >0$，记$k=[\frac{1}{\epsilon }]$，在$[0,1]$中分母小于等于$k$的有理数是有限个，记为$r_1,r_2,...,r_n$，令 δ = min ⁡ 1 ⩽ i ⩽ n r i ≠ x 0 { ∣ r i − x 0 ∣ } > 0 \delta=\min\limits_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ r_{i} \neq x_{0}}}\left\{\left|r_{i}-x_{0}\right|\right\}>0 δ=1⩽i⩽nri​=x0​​min​{∣ri​−x0​∣}>0
$\forall x\in [0,1](0<|x-x_0|<\delta )$要证明$|R(x)-0|=|R(x)|=R(x)<\epsilon$
（1）$x$是无理数，$R(x)=0$
（2）$x$是有理数，其分母大于$k=[\frac{1}{\epsilon }]$（在$[0,1]$区间内除无理数，分母小于等于$k$的有理数，只剩下分母大于$k$的有理数，因为我们要找的范围是$0<|x-x_0|<\delta$，是比$r_i$到$x_0$距离还小的数，也就是剩下的这两种情况刚才我们没取定讨论的$x$是无理数和$x$是有理数，其分母大于$k=[\frac{1}{\epsilon }]$，刚才讨论都取成了$\delta$的范围即邻域中，我自己的理解，欢迎数院大神批评指正）
对于情况（2），$x$的分母$>k\ge [\frac{1}{\epsilon }]+1$且$\frac{1}{\epsilon }<\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1$，即$R(x)⩽\frac{1}{\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1}<\frac{1}{\frac{1}{\epsilon }}=\epsilon$
对于情况（1），由于$x$是无理数，$R(x)=0<\epsilon$
综上所述$|R(x)-0|<\epsilon$
所以$\forall x_0\in (-\infty ,+\infty ),\underset{x\to x_0}{\lim }R(x)=0\ne \frac{1}{p},p\in {\mathbb{N}}^{+}$
所以$R(x)$在一切无理点连续，在有理点不连续。
【注】$\forall \epsilon >0$在$[0,1]$上$R(x)\ge \epsilon$的点的至多有限个。


【例3.2.8】证明：区间$(a,b)$上的单调函数的不连续点必为第一类的（跳跃间断点）。
【证】不妨设$f(x)$在$(a,b)$上单调增加，若$x_0\in (a,b)$， { f ( x ) ∣ x ∈ ( a , x 0 ) } \{f(x)|x\in(a,x_{0})\} {f(x)∣x∈(a,x0​)}有上界必有上确界，记该上确界为$\alpha$，即 α = sup ⁡ { f ( x ) ∣ x ∈ ( a , x 0 ) } \alpha=\sup\{f(x)|x\in(a,x_{0})\} α=sup{f(x)∣x∈(a,x0​)}
$\forall x\in (a,x_0)$，有$f(x)\le \alpha$，即$\forall \epsilon >0,\exists x^{\prime }\in (a,x_0)$使得$f(x^{\prime })>\alpha -\epsilon$（不是上界，就可以找到一点函数值比$\alpha -\epsilon$大）

取$\delta =x_0-x^{\prime },\forall x(-\delta <|x-x_0|<0)$

由于$f(x)$单调增加，所以$\alpha -\epsilon <f(x^{\prime })\le f(x)\le \alpha$即$|f(x)-\alpha |<\epsilon$
即$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\alpha$
同理$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\beta$， β = inf ⁡ { f ( x ) ∣ x ∈ ( x 0 , b ) } \beta=\inf\{f(x)|x\in(x_{0},b)\} β=inf{f(x)∣x∈(x0​,b)}
【注】若$f(x)$与$g(x)$都是单调增加函数，$f(x)-g(x)$为有界变差函数。

3.2.8 反函数

映射$f:\text{X}⟼\text{Y}$是单射，则逆映射$f^{-1}:{\text{R}}_f⟼\text{X}$，如果一个单射是函数，则其逆映射是反函数。

• 存在性
• 连续性
• 可导性（以后讲）

【定理3.2.1】【反函数存在定理】若$f(x)$在定义域${\text{D}}_f$严格单调增加（减少），则存在$f$的反函数$x=f^{-1}(y),y\in {\text{R}}_f$且$f^{-1}(y)$也严格单调增加（减少）。
【证】不妨设$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)(y_1<y_2)$
即$x_1\ne x_2\Rightarrow y_1\ne y_2$（单射）
所以必存在反函数$x=f^{-1}(y)$
$\forall y_1<y_2:$若$x_1>x_2$与严格单调增加矛盾，若$x_1=x_2$与函数定义矛盾（矛盾点在一个$x$对应两个$y$了）
即$f^{-1}(y)$也严格单调增加。