- 一、二叉树的定义
- 二、二叉树的形态
- 三、二叉树的性质
- 四、二叉树的存储
- 五、二叉树的创建与遍历（递归）
一、二叉树的定义
二叉树(Binary Tree) 是由n个结点构成的有限集(n≥0)，n=0时为空树，n>0时为非空树。对于非空树root：
- 有且仅有一个根结点；
- 除根结点外的其余结点又可分为两个不相交的子集rootL和rootR，分别称为root的左子树和右子树，且rootL和rootR本身就是二叉树。
很明显该定义属于递归定义，所以有关二叉树的操作使用递归往往更容易理解和实现。
从定义也可以看出二叉树与一般树的区别主要是两点，一是每个结点的度最多为2；二是结点的子树有左右之分，不能随意调换，调换后又是一棵新的二叉树。
二、二叉树的形态
五种基本形态
从上面二叉树的递归定义可以看出，二叉树或为空，或为一个根结点加上两棵左右子树，因为两棵左右子树也是二叉树也可以为空，所以二叉树有5种基本形态：
三种特殊形态
三、二叉树的性质
四、二叉树的存储
存的目的是为了取，而取的关键在于如何通过父结点拿到它的左右子结点，不同存储方式围绕的核心也就是这。
顺序存储
使用一组地址连续的存储单元存储，例如数组。为了在存储结构中能得到父子结点之间的映射关系，二叉树中的结点必须按层次遍历的顺序存放。具体是：
对于完全二叉树，只需要自根结点起从上往下、从左往右依次存储。
对于非完全二叉树，首先将它变换为完全二叉树，空缺位置用某个特殊字符代替（比如#），然后仍按完全二叉树的存储方式存储。
假设将一棵二叉树按此方式存储到数组后，左子结点下标=2倍的父结点下标+1，右子节点下标=2倍的父结点下标+2（这里父子结点间的关系是基于根结点从0开始计算的）。若数组某个位置处值为#，代表此处对应的结点为空。
可以看出顺序存储非常适合存储接近完全二叉树类型的二叉树，对于一般二叉树有很大的空间浪费，所以对于一般二叉树，一般用下面这种链式存储。
链式存储
对每个结点，除数据域外再多增加左右两个指针域，分别指向该结点的左孩子和右孩子结点，再用一个头指针指向根结点。对应的存储结构：
五、二叉树的创建与遍历（递归）
二叉树由三个基本单元组成：根结点，左子树，右子树，因此存在6种遍历顺序，若规定先左后右，则只有以下3种：
1.先序遍历
若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）访问根结点
（2）先序遍历左子树
（3）先序遍历右子树
2.中序遍历
若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）中序遍历左子树
（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树
3.后序遍历
若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）后序遍历左子树
（2）后序遍历右子树
（3）访问根结点
从上可以看出先中后其实是相对根结点来说。
对于下面这棵二叉树，其遍历顺序：
先序：ABDEHCFIG
中序：DBHEAFICG
后序：DHEBIFGCA
下面是将以下二叉树的顺序存储[A,B,C,D,E,F,G,#,#,H,#,#,I]转换为链式存储的代码，结点不存在用字符#表示，并分别遍历。
Java代码
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
// 中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
public int nodeSize;
/**
* 遍历思路
* 获取当前二叉树的节点个数
* @param root
* @return
*/
public void getNodeSize(TreeNode root) {
if(root == null) return ;
nodeSize++;
getNodeSize(root.left);
getNodeSize(root.right);
}
public int getNodeSize2(TreeNode root) {
if(root == null) return 0;
return getNodeSize2(root.left) +
getNodeSize2(root.right) + 1;
}
public int leafCount;
/**
* 获取叶子节点的个数 - 遍历思路
* @param root
*/
public void getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
leafCount++;
}
getLeafNodeCount(root.left);
getLeafNodeCount(root.right);
}
/**
* 获取叶子节点的个数 - 子问题
* @param root
* @return
*/
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left) +
getLeafNodeCount2(root.right);
}
}仔细观察先序、中序、后序的结点访问顺序可以发现：
