数学建模笔记——TOPSIS[优劣解距离法]
- TOPSIS(优劣解距离)法
- 1. 基本概念
- 2. 模型原理
- 3. 基本步骤
- 4. 典型例题
- 4.1 矩阵正向化
- 4.2 正向矩阵标准化
- 4.3 计算得分并归一化
- 4.4 python代码实现
TOPSIS(优劣解距离)法
1. 基本概念
C. L.Hwang和 K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution),可翻译为逼近理想解排序法,国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS法是一种常用的综合评价方法,能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS法引入了两个基本概念:
- 理想解:设想的最优的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值;
- 负理想解:设想的最劣的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较,若其中有一个方案最接近理想解,而同时又远离负理想解,则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。
2. 模型原理
TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。
3. 基本步骤
-
将原始矩阵正向化
将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标
-
将正向化矩阵标准化
标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不
-
计算得分并归一化
S i = D i − D i + + D i − S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}} Si=Di++Di−Di−,其中 S i S_{i} Si为得分, D i + {D_{i}^{+}} Di+为评价对象与最大值的距离， D i − D_{i}^{-} Di−
为评价对象与最小值的距离。
4. 典型例题
明星Kun想找一个对象，但喜欢他的人太多，不知道怎么选，经过层层考察，留下三个候选人。他认为身高165是最好的，体重在90-100斤是最好的。
候选人 颜值 牌气(争吵次数) 身高 体重 A 9 10 175 120 B 8 7 164 80 C 6 3 157 90
4.1 矩阵正向化
常见的指标类型：
| 指标名称 | 指标特点 | 例子 |
|---|---|---|
| 极大型 (效益型) 指标 | 越大(多)越好 | 成绩、 GDP增速、 企业利润 |
| 极小型 (成本型) 指标 | 越小(少)越好 | 费用、 坏品率、污染程度 |
| 中间型指标 | 越接近某个值越好 | 水质量评估时的PH值 |
| 区间型指标 | 落在某个区间最好 | 体温、 水中植物性营养物量 |
在 TOPSIS 方法中，就是要将所有指标进行统一正向化，即统一转化为极大型指标。 那么就需要极小型、中间型以及区间型的指标进行转化为极大型指标。
| 指标名称 | 公式 |
|---|---|
| 极大型(效益型)指标 | / |
| 极小型(成本型)指标 | x ~ = m a x − x \tilde{x} = max-x x~=max−x, x ~ \tilde{x} x~为指标值, m a x max max为指标最大值, x x x为指标值 |
| 中间型指标 | { x i } \{x_i\} {xi} 是一组中间型序列，最优值是 x b e s t x_{best} xbest，$M = max{ |
| 区间型指标 | x i {x_i} xi是一组区间型序列，最佳区间为 [ a , b ] [a,b] [a,b]，正向化公式如下 M = m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } , x ~ i = { 1 − a − x i M , x i < a 1 , a ≤ x i ≤ b 1 − x i − b M , x i > b M=max\{a-min\{x_i\}, max\{x_i\}-b\}, \widetilde{x}_i=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M}, x_i<a\\1, a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}{M}, x_i>b\end{cases} M=max{a−min{xi},max{xi}−b},x i=⎩ ⎨ ⎧1−Ma−xi,xi<a1,a≤xi≤b1−Mxi−b,xi>b |
-
颜值为极大型指标
-
脾气为极小型指标
候选人 颜值 m a x max max m a x − x max-x max−x A 10 10 0 B 7 10 3 C 3 10 7 -
身高为中间型指标
候选人 身高 x b e s t x_{best} xbest | x i − x b e s t x_i-x_{best} xi−xbest| x ^ i \hat{x}_i x^i A 175 165 10 1 B 164 165 1 1/10 C 157 165 8 8/10 -
体重为区间型指标
候选人 体重 M M M x ^ i \hat{x}_i x^i A 120 20 0 B 80 20 1/2 C 90 20 1
正向化后的矩阵为
| 候选人 | 颜值 | 牌气(争吵次数) | 身高 | 体重 |
|---|---|---|---|---|
| A | 9 | 0 | 0 | 0 |
| B | 8 | 3 | 0.9 | 0.5 |
| C | 6 | 7 | 0.2 | 1 |
4.2 正向矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
X
=
[
x
11
x
12
⋯
x
1
m
x
21
x
22
⋯
x
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
x
n
1
x
n
2
⋯
x
n
m
]
X=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1m}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nm}\end{bmatrix}
X=
x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm
那么对其标准化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：
z
i
j
=
x
i
j
∑
i
=
1
n
x
i
j
2
z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}}
zij=∑i=1nxij2xij
即（每一个元素/根号下所在列元素的平方和）得到标准化矩阵Z:
Z
=
[
z
11
z
12
⋯
z
1
m
z
21
z
22
⋯
z
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
z
n
1
z
n
2
⋯
z
n
m
]
Z=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm}\end{bmatrix}
Z=
z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm
标准化后，还需要给不同指标加上权重，采用的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法、对数最小二乘法。这里认为各个指标权重相同。
对上述矩阵进行标准化，得
| 候选人 | 颜值 | 牌气(争吵次数) | 身高 | 体重 |
|---|---|---|---|---|
| A | 0.669 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0.595 | 0.394 | 0.976 | 0.447 |
| C | 0.446 | 0.919 | 0.217 | 0.894 |
4.3 计算得分并归一化
定义最大值：
Z
+
=
(
m
a
x
{
z
11
,
z
21
,
⋯
,
z
n
1
}
,
m
a
x
{
z
12
,
z
22
,
⋯
,
z
n
2
}
,
⋯
,
m
a
x
{
z
1
m
,
z
2
m
,
⋯
,
z
n
m
}
)
Z^+=(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})
Z+=(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zn2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,znm})
定义最小值：
Z
−
=
(
m
i
n
{
z
11
,
z
21
,
⋯
,
z
n
1
}
,
m
i
n
{
z
12
,
z
22
,
⋯
,
z
n
2
}
,
⋯
,
m
i
n
{
z
1
m
,
z
2
m
,
⋯
,
z
n
m
}
)
Z^-=(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})
Z−=(min{z11,z21,⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm})
定义第i (i=1,2,…,n) 个评价对象与最大值的距离：
D
i
+
=
∑
j
=
1
m
(
Z
j
+
−
z
i
j
)
2
D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^+-z_{ij})^2}
Di+=j=1∑m(Zj+−zij)2
定义第i (i=1,2,…,n) 个评价对象与最小值的距离：
D
i
−
=
∑
j
=
1
m
(
Z
j
−
−
z
i
j
)
2
D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^--z_{ij})^2}
Di−=j=1∑m(Zj−−zij)2
那么，我们可以计算得出第 i( i=1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分：
S
i
=
D
i
−
D
i
+
+
D
i
−
S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}
Si=Di++Di−Di−
很明显 0≤Si≤1,且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。
我们可以将得分归一化并换成百分制：
S
i
~
=
S
i
∑
i
=
1
n
S
i
×
100
\widetilde{S_{\mathrm{i}}}=\frac{S_{\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^{n}S_{\mathrm{i}}}\times100
Si
=∑i=1nSiSi×100
4.4 python代码实现
import numpy as np
# 从用户输入参评数目和指标数目
print("请输入参评数目：")
n = int(input())
print("请输入指标数目：")
m = int(input())
# 接受用户输入的类型矩阵
print("请输入类型矩阵：1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型")
kind = input().split(" ")
# 接受用户输入的矩阵并转化为向量
print("请输入矩阵：")
A = np.zeros(shape=(n, m))
for i in range(n):
A[i] = input().split(" ")
A[i] = list(map(float, A[i]))
print("输入矩阵为：\n{}".format(A))
# 极小型指标转化为极大型指标的函数
def minTomax(maxx, x):
x = list(x)
ans = [[(maxx-e) for e in x]]
return np.array(ans)
# 中间型指标转化为极大型指标的函数
def midTomax(bestx, x):
x = list(x)
h = [abs(e-bestx) for e in x]
M = max(h)
if M == 0:
M = 1 # 防止最大差值为0的情况
ans = [[1-(e/M) for e in h]]
return np.array(ans)
# 区间型指标转化为极大型指标的函数
def regTomax(lowx, highx, x):
x = list(x)
M = max(lowx-min(x), max(x)-highx)
if M == 0:
M = 1 # 防止最大差值为0的情况
ans = []
for i in range(len(x)):
if x[i] < lowx:
ans.append(1-(lowx-x[i])/M)
elif x[i] > highx:
ans.append(1-(x[i]-highx)/M)
else:
ans.append(1)
return np.array([ans])
# 同一指标类型，将所有指标转化为极大型指标
X = np.zeros(shape=(n, 1))
for i in range(m):
if kind[i] == "1":
v = np.array(A[:, i])
elif kind[i] == "2":
maxA = max(A[:, i])
v = minTomax(maxA, A[:, i])
elif kind[i] == "3":
print("类型三，请输入最优值：")
bestA = eval(input())
v = midTomax(bestA, A[:, i])
elif kind[i] == "4":
print("类型四，请输入区间[a,b]值a：")
lowA = eval(input())
print("类型四，请输入区间[a,b]值b：")
highA = eval(input())
v = regTomax(lowA, highA, A[:, i])
if i == 0:
X = v.reshape(-1, 1) # 如果是第一个指标，直接赋值
else:
X = np.hstack((X, v.reshape(-1, 1))) # 如果不是第一个指标，横向拼接
print("统一指标后矩阵为：\n{}".format(X))
# 对统一指标后的矩阵进行标准化处理
X = X.astype(float) # 将X转化为浮点型
for i in range(m):
X[:, i] = X[:, i]/np.sqrt(sum(X[:, i]**2)) # 对每一列进行归一化处理，即除以该列的欧几里得范数
print("标准化后矩阵为：\n{}".format(X))
# 最大值和最小值距离的计算
x_max = np.max(X, axis=0) # 计算每一列的最大值
x_min = np.min(X, axis=0) # 计算每一列的最小值
# 计算每一个参评对象与最优情况的距离d+
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_max, (n, 1))), axis=1))
# 计算每一个参评对象与最差情况的距离d-
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_min, (n, 1))), axis=1))
print("每个指标的最大值为：{}".format(x_max))
print("每个指标的最小值为：{}".format(x_min))
# 计算每一个参评对象的综合得分
s = d_f/(d_f+d_z) # 根据d+和d-计算每一个参评对象的得分，其中s接近1表示越好，接近0表示越差
Score = 100*s/sum(s) # 将得分转换为百分制
for i in range(n):
print(f"第{i+1}个参评对象的得分为：{Score[i]}")
输入：
请输入参评数目：
3
请输入指标数目：
4
请输入类型矩阵：1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型
1 2 3 4
请输入矩阵：
9 10 175 120
8 7 164 80
6 3 157 90
输入矩阵为：
[[ 9. 10. 175. 120.]
[ 8. 7. 164. 80.]
[ 6. 3. 157. 90.]]
类型三，请输入最优值：
165
类型四，请输入区间[a,b]值a：
90
类型四，请输入区间[a,b]值b：
100
输出:
统一指标后矩阵为：
[[9. 0. 0. 0. ]
[8. 3. 0.9 0.5]
[6. 7. 0.2 1. ]]
标准化后矩阵为：
[[0.66896473 0. 0. 0. ]
[0.59463532 0.3939193 0.97618706 0.4472136 ]
[0.44597649 0.91914503 0.21693046 0.89442719]]
每个指标的最大值为：[0.66896473 0.91914503 0.97618706 0.89442719]
每个指标的最小值为：[0.44597649 0. 0. 0. ]
第1个参评对象的得分为：8.886366735657832
第2个参评对象的得分为：45.653341055701134
第3个参评对象的得分为：45.46029220864103
