轨迹规划-B样条

news2024/12/30 4:14:15

B样条究竟是干啥的？白话就是给出一堆点，用样条的方式，给这些点连接起来，并保证丝滑的。

同时B样条分为准均匀和非均匀，以下为准均匀为例。

参考链接1：https://zhuanlan.zhihu.com/p/50626506https://zhuanlan.zhihu.com/p/50626506

参考链接2:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/536470972https://zhuanlan.zhihu.com/p/536470972参考链接3：

8.6.2 B样条曲线类型划分_哔哩哔哩_bilibili8.6.2 B样条曲线类型划分是计算机图形学bezier曲线曲面B样条曲线曲面的第25集视频，该合集共计27集，视频收藏或关注UP主，及时了解更多相关视频内容。https://www.bilibili.com/video/BV1Dt411f7Qj?p=25&vd_source=c0f0446e22649eeb5ab253cb77c744c7

参考链接4：B样条基函数递推定义_哔哩哔哩_bilibiliB样条基函数递推定义, 视频播放量 6278、弹幕量 2、点赞数 101、投硬币枚数 55、收藏人数 182、转发人数 33, 视频作者孔令德, 作者简介一生只做一把壶，相关视频：B样条的定义de boor-cox公式的理解，均匀与准均匀B样条曲线，B样条曲线原理演示，计算机图形学全套算法讲解和C++编码实现（共23讲配套源码）_将国家级一流课程从线下搬到线上，B样条曲面算法，NURBS曲线算法，非均匀B样条曲线算法，MFC绘制二维图形-国家级一流课程，B样条测量工具，NURBS曲面算法https://www.bilibili.com/video/BV1hM4y1w7sX/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=c0f0446e22649eeb5ab253cb77c744c7

参考链接5：
【作业杂谈】B样条曲线的公式要怎么理解（附代码）_哔哩哔哩_bilibili录完视频感觉漏了不少没讲。因为录视频的时候总想着不要停，于是就容易忘事。补充一下：节点数=控制点数+阶数（阶数=次数+1，分段数=控制点数-次数）那么多节点里面只有分段数个点是会被赋值1的（相当于第一层的N_i,k），从第（阶数）个点开始的（分段数）个点。其他都是为了防止公式计算时下标溢出的凑数点。按我的方法是k从小往大，每个位置分成两块传递给下一层，而不是公式里的k从大往小递归。这样比较好理解。, 视频播放量 3648、弹幕量 0、点赞数 38、投硬币枚数 18、收藏人数 86、转发人数 4, 视频作者猪星人, 作者简介这个人懒死了，就改了一下签名，相关视频：【研究生进度-10】曲线拟合——根据目标曲线拟合出贝塞尔曲线控制点坐标（附MATLAB代码），【数学建模编程手必看】41种数模国赛常用算法-matlab代码，免费分享领取，首发—手把手介绍如何将理论应用到matlab代码，手把手教你Boost升压电路的Simulink仿真（含开环，闭环，双闭环控制，PI参数调节方法），【数模国赛神器】Matlab一键生成数学建模代码？Matlab APP/工具箱的妙用！！，6、基于随机森林的时间序列预测模型-预测未来新数据代码详细教程，【MBD 篇】嵌入式 MCU 通用代码生成流程 1，他是真的想教会我们MATLAB机器学习入门到进阶！MATLAB科学计算全套教程！深度学习、神经网络、灰色预测编程实现，【最强动画直观理解强化学习】强化学习训练走路的机器人！不愧是MATLAB官方教程，行走机器人/深度学习/AI/人工智能，看完一年能水5篇SCI！B站公认最好的【SCI论文写作教程】26讲全！基本套路+实操演示，包含所有干货内容！https://www.bilibili.com/video/BV11Y4y1S78q/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=c0f0446e22649eeb5ab253cb77c744c7

参考链接6：

B样条曲线，希望这个视频可以帮助到你我（希望大家看过的多多提意见，我也是自己初学）_哔哩哔哩_bilibiliB样条曲线，拉格朗日插值定理，贝塞尔曲线, 视频播放量 6474、弹幕量 33、点赞数 143、投硬币枚数 97、收藏人数 235、转发人数 22, 视频作者颈椎病goaway, 作者简介提升自己，教育好宝贝，然后致力于躺平，相关视频：计算机图形学bezier曲线曲面B样条曲线曲面，样条基础知识，基于matlab的三次B样条曲线插值（开、闭曲线），为什么要使用样条曲线？，B样条基函数递推定义，NURBS详解，R语言中的多项式回归、B样条曲线(B-spline Curves)回归，B样条的定义de boor-cox公式的理解，「几何引擎基础课03」B样条/Bezier曲线/NURBS曲面-李华研究员，均匀与准均匀B样条曲线https://www.bilibili.com/video/BV1T24y1s7JE/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=c0f0446e22649eeb5ab253cb77c744c7

具体的原理我在这里不进行详细讲解，比如Lagrange插值，Runge现象等等，上面的文章讲解的就非常详细。总得来说B样条是贝塞尔曲线的一部分，类似。这篇文章的重点是如何使用，B样条最终的公式是：

但是这里还是要说一下，最基本的东西，对于b样条来说

阶数：函数最高阶数（二次样条就是2，用3次样条是3）

节点（数）向量：阶数+控制点数+1

（这里的阶数可以改的，比如用二次样条就是2，用3次样条是3）

基本函数：基本函数就是Ni,k（t），这个怎么看呢，看下面的这个表

已知节点数为10，有5个控制点，根据公式为5 + 4 + 1 = 10 ，也就是最好可以用4次样条。（9组范围）根据图片所示，当使用4次样条的话，要有5组基函数。当然也可以是使用3次样条来解决这个问题，那么需要6个控制点，6 + 3 +1 = 10，也就是说当使用3次样条的话，需要6个基函数。

好了，来一个实例，就能明白怎么使用了，以上的公式了。

均匀B样条：

有4个控制点p1，p2，p3，p4 ，利用3次B样条曲线。进行求解。

采用均匀节点向量 t = [0,1,2,3,4,5,6,7],节点向量个数等于4+3+1共8个。

因为使用的3次B样条，所以最终要求的是

之后我们要依次求零次基函数，一次基函数，二次基函数，三次基函数。一阶函数

其他的N11,N21,N31,N02,N12,N22,N32,N03,N13,N23,N33。就可以得到3次B样条的表达式。

准均匀B样条：

有4个控制点p1，p2，p3，p4 ，利用3次B样条曲线。进行求解。

采用准均匀节点向量 t = [0,0,0,0,,5,6,7],节点向量个数等于4+3+1共8个。

其他的也是类似的：

其他的N11,N21,N31,N02,N12,N22,N32,N03,N13,N23,N33。就可以得到3次B样条的表达式。

clear all;
close all;
clc;

p =ginput();    %至少点五个点，因为下面有四次样条
plot(p(:,1),p(:,2),'k-o');  

%二次均匀b样条
re2=[];
for i=1:length(p)-2  
    for t=0:0.01:1   
        
        b0 = 1/2*(1-t)^2;
        b1 = 1/2*(-2*t^2+2*t+1);
        b2 = 1/2*t^2;
        
        x=b0*p(i,1)+b1*p(i+1,1)+b2*p(i+2,1);
        y=b0*p(i,2)+b1*p(i+1,2)+b2*p(i+2,2);        
        
        re2=[re2;x y];
    end
end

%三次均匀b样条
re3=[];
for i=1:length(p)-3  
    for t=0:0.01:1   
  
        b0=1/6*(1-t)^3;                       
        b1=1/6*(3.*t^3-6*t^2+4);        
        b2=1/6*(-3*t^3+3*t^2+3*t+1);     
        b3=1/6*t^3;                     
  
        x=b0*p(i,1)+b1*p(i+1,1)+b2*p(i+2,1)+b3*p(i+3,1);    
        y=b0*p(i,2)+b1*p(i+1,2)+b2*p(i+2,2)+b3*p(i+3,2);     

        re3=[re3;x y];
    end
end

%四次均匀b样条
re4=[];
for i=1:length(p)-4  
    for t=0:0.01:1   
  
        b0=1/24*(t^4-4*t^3+6*t^2-4*t+1);                     
        b1=1/24*(-4*t^4+12*t^3-6*t^2-12*t+11);      
        b2=1/24*(6*t^4-12*t^3-6*t^2+12*t+11);    
        b3=1/24*(-4*t^4+4*t^3+6*t^2+4*t+1);                     
        b4=1/24*t^4;
        
        x=b0*p(i,1)+b1*p(i+1,1)+b2*p(i+2,1)+b3*p(i+3,1)+b4*p(i+4,1);    
        y=b0*p(i,2)+b1*p(i+1,2)+b2*p(i+2,2)+b3*p(i+3,2)+b4*p(i+4,2);     

        re4=[re4;x y];
    end
end

hold on;  
plot(re2(:,1),re2(:,2),'r');
plot(re3(:,1),re3(:,2),'g');
plot(re4(:,1),re4(:,2),'b');

同时要保证其在各个连接点保持平滑，那么以二次样条为例：

三次：