二分查找锦集
- 二分前言
- 1. 二分查找
- 1.1 题目来源
- 1.2 题目描述
- 1.3 代码展示
- 2. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
- 2.1 题目来源
- 2.2 题目描述
- 2.3 解题分析
- 3. 搜索插入位置
- 3.1 题目来源
- 3.2 题目描述
- 3.3 解题分析
- 4. x 的平方根
- 4.1 题目来源
- 4.2 题目描述
- 4.3 解题分析
- 5. 山脉数组的峰顶索引
- 5. 1 题目来源
- 5.2 题目描述
- 5.3 题目解析
- 6. 寻找峰值
- 6. 1 题目来源
- 6.2 题目描述
- 6.3 题目解析
- 7. 寻找旋转排序数组中的最小值
- 7. 1 题目来源
- 7.2 题目描述
- 7.3 题目解析
- 8. LCR 173. 点名
- 8. 1 题目来源
- 8.2 题目描述
- 8.3 题目解析
二分前言
一般我们使用二分查找的时候是会使用到两个模板的。
int search(vector<int>& nums)
{
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (chick()) left = mid + 1;
else right = mid;
}
}
另一种就是
int search(vector<int>& nums)
{
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (chick()) right = mid - 1;
else left = mid;
}
}
上面两种最明显的区别就是求mid的时候，第一种是直接进行left + (right - left) / 2；找中间值的，而第二种确实left + (right - left + 1) / 2；进行求中间值的，而至于为什么需要进行加一后在求中间值我们，我们简单来分析一下。
所以我们其实可以得到一个结论，就是第一种模板其实是又向左收敛的趋势，而第二种是有向右的收敛趋势的。
1. 二分查找
1.1 题目来源
704. 二分查找
1.2 题目描述
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
- 示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4- 示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
1.3 代码展示
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target)
{
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = (right + left) >> 1;
if (target > nums[mid]) left = mid + 1;
else right = mid;
}
if (nums[left] == target) return left;
else return -1;
}
};
2. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
2.1 题目来源
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
2.2 题目描述
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
- 示例 1:
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]- 示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]- 示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109
2.3 解题分析
这里的要求是找到第一个出现target的位置，和最后一次出现target的位置。而这里其实我们可以利用二分两种模板的特性，也就是我们一开始讲的。第一种模板右向右收敛的趋势，可以利用这一点找到第一target出现的位置，第二种模板右向左收敛的趋势，可以利用这点找到最后一个出现target的位置。
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
{
// 边界处理
if (nums.size() == 0) return {-1,-1};
int left = 0, right = nums.size() - 1;
int begin = -1, end = -1;
// 找第一个target出现的位置
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else right = mid;
}
if (nums[left] == target) begin = left;
left = 0, right = nums.size() - 1;
// 找最后一次出现target的位置
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else left = mid;
}
if (nums[left] == target) end = left;
return {begin, end};
}
};
3. 搜索插入位置
3.1 题目来源
35. 搜索插入位置
3.2 题目描述
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
2. 示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
3. 示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
提示:
1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
-104 <= target <= 104
3.3 解题分析
通过题目分析我们可以直到，这里我们要找的下标其实就两种情况，一种是target在nums数组中便直接返回元素的下标即可，另一种就是元素不在nums数组中，那么我们就要找到一pos位置，这个pos位置要满足nums[pos - 1] < target < nums[pos]，也就是返回找到第一大于target的位置。而这里其实我们可以将等于的情况进行合并即：nums[pos - 1] < target < =nums[pos]。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target)
{
int left = 0, right = nums.size() - 1;
if (target > nums[right]) return right + 1; // 这里做边界处理，其实也可以直接将right=nums.size(),因为即使多出来了一元素，但这个元素不会影响结果，这里是为了迎合我们的一致性。
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else right = mid;
}
return left;
}
};
4. x 的平方根
4.1 题目来源
69. x 的平方根
4.2 题目描述
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
- 示例 1：
输入：x = 4
输出：2- 示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
提示：
0 <= x <= 231 -
4.3 解题分析
这一题可以说是和上一题“搜索插入位置”是相反的，上一题是找到第一个大于等于target的数据，而这一天则是找到第一个小于等于target的数据。首先我们要找到x的平方根的话，一定是y开平发要小于等于x的，而这个y就是我们要找的target。这里也可以做一下优化，也就是说x的平方根一定是会比x/2要小的，但是其实也没多大意义，因为二分其实不太在意这一点。
class Solution {
public:
int mySqrt(int x)
{
int left = 0, right = x / 2 + 1; // 处理x < 2 情况
while (left < right)
{
long long mid = left + (right - left + 1) / 2; // 防止数据越界
if (mid * mid > x)
right = mid - 1;
else left = mid;
}
return left;
}
};
5. 山脉数组的峰顶索引
5. 1 题目来源
852. 山脉数组的峰顶索引
5.2 题目描述
给定一个长度为 n 的整数 山脉 数组 arr ，其中的值递增到一个 峰值元素 然后递减。
返回峰值元素的下标。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。
- 示例 1：
输入：arr = [0,1,0]
输出：1- 示例 2：
输入：arr = [0,2,1,0]
输出：1- 示例 3：
输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1
提示：
3 <= arr.length <= 105
0 <= arr[i] <= 106
题目数据 保证 arr 是一个山脉数组
5.3 题目解析
假设我们要找到峰值的小标是Imax，也就是说明了，Imax的左边是一个上升的趋势，Imax的右边是一个下降到趋势。所以我们可以得出两个结论：
- 当 i < Imax的时候：arr[i] < arr[i + 1];
- 当 i >= imax 的是偶：arr[i] >= arr[i + 1]
所以根据这个特性我们很快可以使用到我们的第一个快排模板。
class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
{
int left = 0, right = arr.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] < arr[mid + 1])
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
return left;
}
};
6. 寻找峰值
6. 1 题目来源
162. 寻找峰值
6.2 题目描述
峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。
给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。
你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。
你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。
- 示例 1：
输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。- 示例 2：
输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。
提示：
1 <= nums.length <= 1000
-231 <= nums[i] <= 231 - 1
对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]
6.3 题目解析
这个一题上一题是一个意思的。
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < nums[mid + 1])
left = mid + 1;
else right = mid;
}
return left;
}
};
7. 寻找旋转排序数组中的最小值
7. 1 题目来源
153. 寻找旋转排序数组中的最小值
7.2 题目描述
已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：
- 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
- 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]
注意，数组 [a[0], a[1], a[2], …, a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], …, a[n-2]] 。
给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。
你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题
- 示例 1：
输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。- 示例 2：
输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 3 次得到输入数组。- 示例 3：
输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组
提示：
n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数 互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转
7.3 题目解析
我们可以将数据进行折线图化，因为题目已经严格的数组是严格遵循升序的，并且是没有重复数据的，只是进行了单独的反转而已，于是从图中我们就可以看出是由二段性的，这里我们用数组中的最后一个元素x来进行分割。在target的左侧，所有的数据到是大于x的，而在target的右侧则是小于等于x的。所以也就有了我们的第一个模板了。
至于为什么用最后一个元素来充当分割数据而不用第一个数据来充当分割数据，是因为，如果选用第一个充当分割数据的化会有边界问题，针对的就是如果一开始他就是一个递增的，那么如果选用第一个数据作为分割数据的话，找到的将会是数组中的最大值，而不是最小值。
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int left = 0, right = n - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > nums[n - 1])
left = mid + 1;
else right = mid;
}
return nums[left];
}
};
8. LCR 173. 点名
8. 1 题目来源
LCR 173. 点名
8.2 题目描述
某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。
- 示例 1:
输入: records = [0,1,2,3,5]
输出: 4- 示例 2:
输入: records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出: 7
提示：
1 <= records.length <= 10000
8.3 题目解析
一旦mid==nums[mid]就说明当前mid之前包括mid一定是没有缺失的,就可以让left=mid+1向前的,如果不等于,就说明mid这个索引对应的可能就是缺失的,即使right=mid即可,而这个恰好对应着我们的模板一
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records) {
int n = records.size();
int left = 0, right = n - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (records[mid] == mid)
left = mid + 1;
else right = mid;
}
if (left == records[left]) left += 1;
return left;
}
};
