非线性建模问题的线性化思考

news2024/9/21 23:39:50

很长时间没有提笔写博，近两年来一直从事规划领域方面的研究，在熟悉业务的同时，对规划算法也有了新的看法。相比智能算法的概率性，规划算法对求解的精确性要求更高。

本篇博客将围绕非线性问题如何线性化典型问题，分类归纳，给正在入手线性规划的同学们带来系列思考感悟。

文章目录

前言
一、非线性规划问题的典型特征
二、常用处理技巧
分段函数形式
条件约束形式
绝对值函数形式
最小/大值函数形式
逻辑或形式
含有0-1变量的乘积形式
混合整数形式
分式目标函数
总结

前言

我们知道，对于线性规划问题，有非常成熟的求解方法——单纯形法。可实际在科研建模时，目标函数或是约束条件，极大概率会出现非线性的形式。

此时若选择采用启发式算法求解，就相当于放弃了求精确解，而实际业务上对问题解的要求更高。因此，了解并懂得何种形式可以转化为线性和如何线性化，是非常重要的。

在解决实际较为复杂的问题时，会面临以下两个问题：

我应该构建哪种非线性形式来刻画该问题？
这样的非线性刻画还能否线性化（决定了还能否求得精确解）？

为了回答好这两个问题，本文将围绕《非线性问题的典型特征刻画》《线性化处理技巧》两部分解释。

一、非线性规划问题的典型特征

笔者认为，经典线性规划问题可以统一转换为矩阵化的范式：

object： $min CX$

constraints： $B\leq AX\leq U$

variables： $X\in \mathbb{R}_{m\times n}$ 满足其他条件等

然后可采用单纯形法进行处理。单纯形法本质是迭代找每个问题解空间的凸点，不断更新凹点最终缩小解空间到截止，则最优解必存在某一凸点上。这也就是凸优化的常用求解途径（很多学者都会研究非凸优化发paper）。有意思的是国内外的凸凹翻译是反的。而我们认为非线性规划就是一个非凸问题。

回到正题，非线性规划问题的典型数学特征为，具有：

分段函数形式
条件约束形式
绝对值函数形式
最小/大值函数形式
逻辑或形式
含有0-1变量的乘积形式
混合整数形式
分式目标函数

以上均可实现线性化。

二、常用处理技巧

线性化的主要手段其实就两点：

引入0-1变量
引入很大的整数M

灵活运用这两点会呈现非常巧妙且神奇的线性化技巧。

1.分段函数

（1）示例1

分段函数 $f(x)$ 的表达式如下，问题域为 $0 \leq x \leq c$

如果要对分段函数 $f(x)$ 进行线性化处理，则需要引入0-1辅助变量 $\lambda$ 和一个很大的正整数 $M$ 。

对上式分析可知：

①考虑 $\lambda _1=1, \lambda _2=0, \lambda _3=0$ ，对应分段函数1，且约束均成立

②考虑 $\lambda _1=0, \lambda _2=1, \lambda _3=0$ ，对应分段函数2，且约束均成立

③考虑 $\lambda _1=0, \lambda _2=0, \lambda _3=1$ ，对应分段函数3，且约束均成立

（2）继而推广至K项分段函数

通过增加K个0，1变量，以及极大值M，实现线性化

（3）总结分析

1）约束区间的适应性

约束区间可适应 $\leq$ , $\geq$ , $<$ , $>$ ，不影响以上特性。

2）约束区间的特定性

上界可推广至 $\infty$
下界有且仅有能为零，因为 $\lambda _k$ 为0/1变量，仅 $\lambda _k$ 为1时，其它项为零，使得约束下界为0
上下界必须和问题域范围相同。在分段函数中，约束区间的并集 = 问题域

3）当约束下界为 $a_0\neq 0$ 时，如何处理？①如何同问题域保持一致性②同各分段函数约束区间保持一致性？

在分段函数中，约束区间的并集 = 问题域。所以保持各分段函数约束区间一致即可。

这里结合问题域，区分两种情况讨论：

① $a_0<0$

考虑对 $x$ 坐标进行平移，增加变量 $y$ ，令 $y=x-a_0$

② $a_0>0$

如果已定义问题域范围为 $a_0<x<a_k$ ，可不做任何处理（因为问题域 $a_0<x<a_k$ 和 $a_0*0<x<a_1$ 同时定义约束会取并集得到 $a_0<x<a_1$ ，在约束区间上保持一致）；未定义问题域范围时，需要考虑对 $x$ 坐标进行平移，增加变量 $y$ ，令 $y=x-a_0$

2.条件约束★

条件约束相对来说较常见，可以理解为if... then...。分为单条件约束和组合条件约束。顾名思义：

（1）单条件约束

指围绕变量Variable，仅有一条约束，如：

通常为了解决约束条件，一般采用松弛法，即“将约束范围放大到无穷范围、将约束条件松弛到恒成立”。这里我们设置无穷大变量M，和0/1变量k。

通过设置两个变量，在满足约束条件的同时，对范围外松弛到恒满足约束条件，完成约束的去除。对上式分析可知：

①考虑 $k=1$ ，对应原式

②考虑 $k=0$ ，对应为 $- \infty <f(x)<\infty$ ，且约束 $-\infty < x < \infty$ 。

与分段函数不同，在分段约束中，一致性如何判定

与问题域是否保持一致？只有问题域 $B \leq x \leq U$ 一定要先定义（一般约束区间为问题域子集，会先行定义）才成立
与条件约束是否保持一致？显然 $- \infty <f(x)<\infty$ ， $-\infty < x < \infty$ 成立。